समाधान {l}{-5*(x-y)+3y=2x}{2y-(6x+7)=-2}

$$\left. \begin{array} { l } { - 5 \cdot ( x - y ) + 3 y = 2 x } \\ { 2 y - ( 6 x + 7 ) = - 2 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = -\frac{20}{17} = -1\frac{3}{17} \approx -1.176470588$$

$$y = -\frac{35}{34} = -1\frac{1}{34} \approx -1.029411765$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। -5 लाई x-y ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$-5x+5y+3y=2x$$

8y प्राप्त गर्नको लागि 5y र 3y लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$-5x+8y=2x$$

दुवै छेउबाट 2x घटाउनुहोस्।

$$-5x+8y-2x=0$$

-7x प्राप्त गर्नको लागि -5x र -2x लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$-7x+8y=0$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। 6x+7 को विपरितार्थी शब्द पत्ता लगाउन, हरेक शब्दको विपरितार्थी शब्द पत्ता लगाउनुहोस्।

$$2y-6x-7=-2$$

दुबै छेउहरूमा 7 थप्नुहोस्।

$$2y-6x=-2+7$$

5 प्राप्त गर्नको लागि -2 र 7 जोड्नुहोस्।

$$2y-6x=5$$

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-7x+8y=0,-6x+2y=5$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$-7x+8y=0$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 8y घटाउनुहोस्।

$$-7x=-8y$$

दुबैतिर -7 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{1}{7}\left(-8\right)y$$

-\frac{1}{7} लाई -8y पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{8}{7}y$$

\frac{8y}{7} लाई x ले अर्को समीकरण -6x+2y=5 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-6\times \frac{8}{7}y+2y=5$$

-6 लाई \frac{8y}{7} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{48}{7}y+2y=5$$

2y मा -\frac{48y}{7} जोड्नुहोस्

$$-\frac{34}{7}y=5$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{34}{7} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=-\frac{35}{34}$$

x=\frac{8}{7}y मा y लाई -\frac{35}{34} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=\frac{8}{7}\left(-\frac{35}{34}\right)$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी \frac{8}{7} लाई -\frac{35}{34} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=-\frac{20}{17}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-\frac{20}{17},y=-\frac{35}{34}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। -5 लाई x-y ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$-5x+5y+3y=2x$$

8y प्राप्त गर्नको लागि 5y र 3y लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$-5x+8y=2x$$

दुवै छेउबाट 2x घटाउनुहोस्।

$$-5x+8y-2x=0$$

-7x प्राप्त गर्नको लागि -5x र -2x लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$-7x+8y=0$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। 6x+7 को विपरितार्थी शब्द पत्ता लगाउन, हरेक शब्दको विपरितार्थी शब्द पत्ता लगाउनुहोस्।

$$2y-6x-7=-2$$

दुबै छेउहरूमा 7 थप्नुहोस्।

$$2y-6x=-2+7$$

5 प्राप्त गर्नको लागि -2 र 7 जोड्नुहोस्।

$$2y-6x=5$$

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$-7x+8y=0,-6x+2y=5$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-7\times 2-8\left(-6\right)}&-\frac{8}{-7\times 2-8\left(-6\right)}\\-\frac{-6}{-7\times 2-8\left(-6\right)}&-\frac{7}{-7\times 2-8\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}&-\frac{4}{17}\\\frac{3}{17}&-\frac{7}{34}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{17}\times 5\\-\frac{7}{34}\times 5\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{17}\\-\frac{35}{34}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=-\frac{20}{17},y=-\frac{35}{34}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। -5 लाई x-y ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$-5x+5y+3y=2x$$

8y प्राप्त गर्नको लागि 5y र 3y लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$-5x+8y=2x$$

दुवै छेउबाट 2x घटाउनुहोस्।

$$-5x+8y-2x=0$$

-7x प्राप्त गर्नको लागि -5x र -2x लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$-7x+8y=0$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। 6x+7 को विपरितार्थी शब्द पत्ता लगाउन, हरेक शब्दको विपरितार्थी शब्द पत्ता लगाउनुहोस्।

$$2y-6x-7=-2$$

दुबै छेउहरूमा 7 थप्नुहोस्।

$$2y-6x=-2+7$$

5 प्राप्त गर्नको लागि -2 र 7 जोड्नुहोस्।

$$2y-6x=5$$

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$-7x+8y=0,-6x+2y=5$$

-7x र -6x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -6 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -7 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$-6\left(-7\right)x-6\times 8y=0,-7\left(-6\right)x-7\times 2y=-7\times 5$$

सरल गर्नुहोस्।

$$42x-48y=0,42x-14y=-35$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 42x-48y=0 बाट 42x-14y=-35 घटाउनुहोस्।

$$42x-42x-48y+14y=35$$

-42x मा 42x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 42x र -42x राशी रद्द हुन्छन्।

$$-48y+14y=35$$

14y मा -48y जोड्नुहोस्

$$-34y=35$$

दुबैतिर -34 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{35}{34}$$

-6x+2y=5 मा y लाई -\frac{35}{34} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$-6x+2\left(-\frac{35}{34}\right)=5$$

2 लाई -\frac{35}{34} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-6x-\frac{35}{17}=5$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{35}{17} जोड्नुहोस्।

$$-6x=\frac{120}{17}$$

दुबैतिर -6 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{20}{17}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-\frac{20}{17},y=-\frac{35}{34}$$