समाधान {l}{-4x+3y=-5}{-7x+3y=-20}

$$\left. \begin{array} { l } { - 4 x + 3 y = - 5 } \\ { - 7 x + 3 y = - 20 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=5$$

$$y=5$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-4x+3y=-5,-7x+3y=-20$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$-4x+3y=-5$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 3y घटाउनुहोस्।

$$-4x=-3y-5$$

दुबैतिर -4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{1}{4}\left(-3y-5\right)$$

-\frac{1}{4} लाई -3y-5 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{3}{4}y+\frac{5}{4}$$

\frac{3y+5}{4} लाई x ले अर्को समीकरण -7x+3y=-20 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-7\left(\frac{3}{4}y+\frac{5}{4}\right)+3y=-20$$

-7 लाई \frac{3y+5}{4} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{21}{4}y-\frac{35}{4}+3y=-20$$

3y मा -\frac{21y}{4} जोड्नुहोस्

$$-\frac{9}{4}y-\frac{35}{4}=-20$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{35}{4} जोड्नुहोस्।

$$-\frac{9}{4}y=-\frac{45}{4}$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{9}{4} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=5$$

x=\frac{3}{4}y+\frac{5}{4} मा y लाई 5 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=\frac{3}{4}\times 5+\frac{5}{4}$$

\frac{3}{4} लाई 5 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{15+5}{4}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{5}{4} लाई \frac{15}{4} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=5$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=5,y=5$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$-4x+3y=-5,-7x+3y=-20$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}-4&3\\-7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}-4&3\\-7&3\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&3\\-7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&3\\-7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&3\\-7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&3\\-7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&3\\-7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-4\times 3-3\left(-7\right)}&-\frac{3}{-4\times 3-3\left(-7\right)}\\-\frac{-7}{-4\times 3-3\left(-7\right)}&-\frac{4}{-4\times 3-3\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{7}{9}&-\frac{4}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\left(-5\right)-\frac{1}{3}\left(-20\right)\\\frac{7}{9}\left(-5\right)-\frac{4}{9}\left(-20\right)\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=5,y=5$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$-4x+3y=-5,-7x+3y=-20$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर -4x+3y=-5 बाट -7x+3y=-20 घटाउनुहोस्।

$$-4x+7x+3y-3y=-5+20$$

-3y मा 3y जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 3y र -3y राशी रद्द हुन्छन्।

$$-4x+7x=-5+20$$

7x मा -4x जोड्नुहोस्

$$3x=-5+20$$

20 मा -5 जोड्नुहोस्

$$3x=15$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=5$$

-7x+3y=-20 मा x लाई 5 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले y लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$-7\times 5+3y=-20$$

-7 लाई 5 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-35+3y=-20$$

समीकरणको दुबैतिर 35 जोड्नुहोस्।

$$3y=15$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=5$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=5,y=5$$