समाधान {l}{-3x+15y=59}{3x+4y=17}

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 x + 15 y = 59 } \\ { 3 x + 4 y = 17 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

$$y=4$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-3x+15y=59,3x+4y=17$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$-3x+15y=59$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 15y घटाउनुहोस्।

$$-3x=-15y+59$$

दुबैतिर -3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{1}{3}\left(-15y+59\right)$$

-\frac{1}{3} लाई -15y+59 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=5y-\frac{59}{3}$$

5y-\frac{59}{3} लाई x ले अर्को समीकरण 3x+4y=17 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$3\left(5y-\frac{59}{3}\right)+4y=17$$

3 लाई 5y-\frac{59}{3} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$15y-59+4y=17$$

4y मा 15y जोड्नुहोस्

$$19y-59=17$$

समीकरणको दुबैतिर 59 जोड्नुहोस्।

$$19y=76$$

दुबैतिर 19 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=4$$

x=5y-\frac{59}{3} मा y लाई 4 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=5\times 4-\frac{59}{3}$$

5 लाई 4 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=20-\frac{59}{3}$$

20 मा -\frac{59}{3} जोड्नुहोस्

$$x=\frac{1}{3}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{1}{3},y=4$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$-3x+15y=59,3x+4y=17$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}-3&15\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}59\\17\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}-3&15\\3&4\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&15\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&15\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&15\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}59\\17\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&15\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}59\\17\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&15\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}59\\17\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{-3\times 4-15\times 3}&-\frac{15}{-3\times 4-15\times 3}\\-\frac{3}{-3\times 4-15\times 3}&-\frac{3}{-3\times 4-15\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}59\\17\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{57}&\frac{5}{19}\\\frac{1}{19}&\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}59\\17\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{57}\times 59+\frac{5}{19}\times 17\\\frac{1}{19}\times 59+\frac{1}{19}\times 17\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\\4\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{3},y=4$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$-3x+15y=59,3x+4y=17$$

-3x र 3x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 3 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -3 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$3\left(-3\right)x+3\times 15y=3\times 59,-3\times 3x-3\times 4y=-3\times 17$$

सरल गर्नुहोस्।

$$-9x+45y=177,-9x-12y=-51$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर -9x+45y=177 बाट -9x-12y=-51 घटाउनुहोस्।

$$-9x+9x+45y+12y=177+51$$

9x मा -9x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै -9x र 9x राशी रद्द हुन्छन्।

$$45y+12y=177+51$$

12y मा 45y जोड्नुहोस्

$$57y=177+51$$

51 मा 177 जोड्नुहोस्

$$57y=228$$

दुबैतिर 57 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=4$$

3x+4y=17 मा y लाई 4 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$3x+4\times 4=17$$

4 लाई 4 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$3x+16=17$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 16 घटाउनुहोस्।

$$3x=1$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{3}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{1}{3},y=4$$