समाधान {l}{-2x+7y=4}{-4x+3y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { - 2 x + 7 y = 4 } \\ { - 4 x + 3 y = 2 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=-\frac{1}{11}\approx -0.090909091$$

$$y=\frac{6}{11}\approx 0.545454545$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-2x+7y=4,-4x+3y=2$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$-2x+7y=4$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 7y घटाउनुहोस्।

$$-2x=-7y+4$$

दुबैतिर -2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{1}{2}\left(-7y+4\right)$$

-\frac{1}{2} लाई -7y+4 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{7}{2}y-2$$

\frac{7y}{2}-2 लाई x ले अर्को समीकरण -4x+3y=2 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-4\left(\frac{7}{2}y-2\right)+3y=2$$

-4 लाई \frac{7y}{2}-2 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-14y+8+3y=2$$

3y मा -14y जोड्नुहोस्

$$-11y+8=2$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 8 घटाउनुहोस्।

$$-11y=-6$$

दुबैतिर -11 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{6}{11}$$

x=\frac{7}{2}y-2 मा y लाई \frac{6}{11} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=\frac{7}{2}\times \frac{6}{11}-2$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी \frac{7}{2} लाई \frac{6}{11} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=\frac{21}{11}-2$$

\frac{21}{11} मा -2 जोड्नुहोस्

$$x=-\frac{1}{11}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-\frac{1}{11},y=\frac{6}{11}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$-2x+7y=4,-4x+3y=2$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}-2&7\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}-2&7\\-4&3\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&7\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&7\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&7\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&7\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&7\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-2\times 3-7\left(-4\right)}&-\frac{7}{-2\times 3-7\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{-2\times 3-7\left(-4\right)}&-\frac{2}{-2\times 3-7\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{22}&-\frac{7}{22}\\\frac{2}{11}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{22}\times 4-\frac{7}{22}\times 2\\\frac{2}{11}\times 4-\frac{1}{11}\times 2\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{11}\\\frac{6}{11}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=-\frac{1}{11},y=\frac{6}{11}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$-2x+7y=4,-4x+3y=2$$

-2x र -4x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -4 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -2 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$-4\left(-2\right)x-4\times 7y=-4\times 4,-2\left(-4\right)x-2\times 3y=-2\times 2$$

सरल गर्नुहोस्।

$$8x-28y=-16,8x-6y=-4$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 8x-28y=-16 बाट 8x-6y=-4 घटाउनुहोस्।

$$8x-8x-28y+6y=-16+4$$

-8x मा 8x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 8x र -8x राशी रद्द हुन्छन्।

$$-28y+6y=-16+4$$

6y मा -28y जोड्नुहोस्

$$-22y=-16+4$$

4 मा -16 जोड्नुहोस्

$$-22y=-12$$

दुबैतिर -22 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{6}{11}$$

-4x+3y=2 मा y लाई \frac{6}{11} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$-4x+3\times \frac{6}{11}=2$$

3 लाई \frac{6}{11} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-4x+\frac{18}{11}=2$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{18}{11} घटाउनुहोस्।

$$-4x=\frac{4}{11}$$

दुबैतिर -4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{1}{11}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-\frac{1}{11},y=\frac{6}{11}$$