समाधान {l}{-15B-3A=-14}{-5A+B=7}

$$\left. \begin{array} { l } { - 15 B - 3 A = - 14 } \\ { - 5 A + B = 7 } \end{array} \right.$$

B, A को लागि हल गर्नुहोस्

$$B = \frac{7}{6} = 1\frac{1}{6} \approx 1.166666667$$

$$A = -\frac{7}{6} = -1\frac{1}{6} \approx -1.166666667$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-15B-3A=-14,B-5A=7$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको B लाई अलग गरी B का लागि हल गर्नुहोस्।

$$-15B-3A=-14$$

समीकरणको दुबैतिर 3A जोड्नुहोस्।

$$-15B=3A-14$$

दुबैतिर -15 ले भाग गर्नुहोस्।

$$B=-\frac{1}{15}\left(3A-14\right)$$

-\frac{1}{15} लाई 3A-14 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$B=-\frac{1}{5}A+\frac{14}{15}$$

-\frac{A}{5}+\frac{14}{15} लाई B ले अर्को समीकरण B-5A=7 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-\frac{1}{5}A+\frac{14}{15}-5A=7$$

-5A मा -\frac{A}{5} जोड्नुहोस्

$$-\frac{26}{5}A+\frac{14}{15}=7$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{14}{15} घटाउनुहोस्।

$$-\frac{26}{5}A=\frac{91}{15}$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{26}{5} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$A=-\frac{7}{6}$$

B=-\frac{1}{5}A+\frac{14}{15} मा A लाई -\frac{7}{6} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले B लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$B=-\frac{1}{5}\left(-\frac{7}{6}\right)+\frac{14}{15}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी -\frac{1}{5} लाई -\frac{7}{6} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$B=\frac{7}{30}+\frac{14}{15}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{14}{15} लाई \frac{7}{30} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$B=\frac{7}{6}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$B=\frac{7}{6},A=-\frac{7}{6}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$-15B-3A=-14,B-5A=7$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}-15&-3\\1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}B\\A\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\7\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}-15&-3\\1&-5\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}-15&-3\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15&-3\\1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}B\\A\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-15&-3\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\7\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}B\\A\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-15&-3\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\7\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}B\\A\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-15&-3\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}B\\A\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-15\left(-5\right)-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{-15\left(-5\right)-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{-15\left(-5\right)-\left(-3\right)}&-\frac{15}{-15\left(-5\right)-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\7\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}B\\A\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{78}&\frac{1}{26}\\-\frac{1}{78}&-\frac{5}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\7\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}B\\A\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{78}\left(-14\right)+\frac{1}{26}\times 7\\-\frac{1}{78}\left(-14\right)-\frac{5}{26}\times 7\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}B\\A\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{6}\\-\frac{7}{6}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू B र A लाई ता्नुहोस्।

$$B=\frac{7}{6},A=-\frac{7}{6}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$-15B-3A=-14,B-5A=7$$

-15B र B लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 1 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -15 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$-15B-3A=-14,-15B-15\left(-5\right)A=-15\times 7$$

सरल गर्नुहोस्।

$$-15B-3A=-14,-15B+75A=-105$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर -15B-3A=-14 बाट -15B+75A=-105 घटाउनुहोस्।

$$-15B+15B-3A-75A=-14+105$$

15B मा -15B जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै -15B र 15B राशी रद्द हुन्छन्।

$$-3A-75A=-14+105$$

-75A मा -3A जोड्नुहोस्

$$-78A=-14+105$$

105 मा -14 जोड्नुहोस्

$$-78A=91$$

दुबैतिर -78 ले भाग गर्नुहोस्।

$$A=-\frac{7}{6}$$

B-5A=7 मा A लाई -\frac{7}{6} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले B लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$B-5\left(-\frac{7}{6}\right)=7$$

-5 लाई -\frac{7}{6} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$B+\frac{35}{6}=7$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{35}{6} घटाउनुहोस्।

$$B=\frac{7}{6}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$B=\frac{7}{6},A=-\frac{7}{6}$$