समाधान {l}{-15A+3B=21}{-15B-3A=-14}

$$\left. \begin{array} { l } { - 15 A + 3 B = 21 } \\ { - 15 B - 3 A = - 14 } \end{array} \right.$$

A, B को लागि हल गर्नुहोस्

$$A = -\frac{7}{6} = -1\frac{1}{6} \approx -1.166666667$$

$$B = \frac{7}{6} = 1\frac{1}{6} \approx 1.166666667$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-15A+3B=21,-3A-15B=-14$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको A लाई अलग गरी A का लागि हल गर्नुहोस्।

$$-15A+3B=21$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 3B घटाउनुहोस्।

$$-15A=-3B+21$$

दुबैतिर -15 ले भाग गर्नुहोस्।

$$A=-\frac{1}{15}\left(-3B+21\right)$$

-\frac{1}{15} लाई -3B+21 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$A=\frac{1}{5}B-\frac{7}{5}$$

\frac{-7+B}{5} लाई A ले अर्को समीकरण -3A-15B=-14 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-3\left(\frac{1}{5}B-\frac{7}{5}\right)-15B=-14$$

-3 लाई \frac{-7+B}{5} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{3}{5}B+\frac{21}{5}-15B=-14$$

-15B मा -\frac{3B}{5} जोड्नुहोस्

$$-\frac{78}{5}B+\frac{21}{5}=-14$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{21}{5} घटाउनुहोस्।

$$-\frac{78}{5}B=-\frac{91}{5}$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{78}{5} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$B=\frac{7}{6}$$

A=\frac{1}{5}B-\frac{7}{5} मा B लाई \frac{7}{6} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले A लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$A=\frac{1}{5}\times \frac{7}{6}-\frac{7}{5}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी \frac{1}{5} लाई \frac{7}{6} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$A=\frac{7}{30}-\frac{7}{5}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर -\frac{7}{5} लाई \frac{7}{30} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$A=-\frac{7}{6}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$A=-\frac{7}{6},B=\frac{7}{6}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$-15A+3B=21,-3A-15B=-14$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\-14\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\-14\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\-14\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\-14\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{-15\left(-15\right)-3\left(-3\right)}&-\frac{3}{-15\left(-15\right)-3\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{-15\left(-15\right)-3\left(-3\right)}&-\frac{15}{-15\left(-15\right)-3\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\-14\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{78}&-\frac{1}{78}\\\frac{1}{78}&-\frac{5}{78}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\-14\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{78}\times 21-\frac{1}{78}\left(-14\right)\\\frac{1}{78}\times 21-\frac{5}{78}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{6}\\\frac{7}{6}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू A र B लाई ता्नुहोस्।

$$A=-\frac{7}{6},B=\frac{7}{6}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$-15A+3B=21,-3A-15B=-14$$

-15A र -3A लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -3 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -15 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$-3\left(-15\right)A-3\times 3B=-3\times 21,-15\left(-3\right)A-15\left(-15\right)B=-15\left(-14\right)$$

सरल गर्नुहोस्।

$$45A-9B=-63,45A+225B=210$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 45A-9B=-63 बाट 45A+225B=210 घटाउनुहोस्।

$$45A-45A-9B-225B=-63-210$$

-45A मा 45A जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 45A र -45A राशी रद्द हुन्छन्।

$$-9B-225B=-63-210$$

-225B मा -9B जोड्नुहोस्

$$-234B=-63-210$$

-210 मा -63 जोड्नुहोस्

$$-234B=-273$$

दुबैतिर -234 ले भाग गर्नुहोस्।

$$B=\frac{7}{6}$$

-3A-15B=-14 मा B लाई \frac{7}{6} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले A लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$-3A-15\times \frac{7}{6}=-14$$

-15 लाई \frac{7}{6} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-3A-\frac{35}{2}=-14$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{35}{2} जोड्नुहोस्।

$$-3A=\frac{7}{2}$$

दुबैतिर -3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$A=-\frac{7}{6}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$A=-\frac{7}{6},B=\frac{7}{6}$$