समाधान {l}{-10y+9x=-9}{10y+5x=-5}

$$\left. \begin{array} { l } { - 10 y + 9 x = - 9 } \\ { 10 y + 5 x = - 5 } \end{array} \right.$$

y, x को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=-1$$

$$y=0$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-10y+9x=-9,10y+5x=-5$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको y लाई अलग गरी y का लागि हल गर्नुहोस्।

$$-10y+9x=-9$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 9x घटाउनुहोस्।

$$-10y=-9x-9$$

दुबैतिर -10 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{1}{10}\left(-9x-9\right)$$

-\frac{1}{10} लाई -9x-9 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$y=\frac{9}{10}x+\frac{9}{10}$$

\frac{9+9x}{10} लाई y ले अर्को समीकरण 10y+5x=-5 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$10\left(\frac{9}{10}x+\frac{9}{10}\right)+5x=-5$$

10 लाई \frac{9+9x}{10} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$9x+9+5x=-5$$

5x मा 9x जोड्नुहोस्

$$14x+9=-5$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 9 घटाउनुहोस्।

$$14x=-14$$

दुबैतिर 14 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-1$$

y=\frac{9}{10}x+\frac{9}{10} मा x लाई -1 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले y लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$y=\frac{9}{10}\left(-1\right)+\frac{9}{10}$$

\frac{9}{10} लाई -1 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$y=\frac{-9+9}{10}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{9}{10} लाई -\frac{9}{10} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$y=0$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$y=0,x=-1$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$-10y+9x=-9,10y+5x=-5$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}-10&9\\10&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-5\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}-10&9\\10&5\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}-10&9\\10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10&9\\10&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&9\\10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-5\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&9\\10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-5\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&9\\10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{-10\times 5-9\times 10}&-\frac{9}{-10\times 5-9\times 10}\\-\frac{10}{-10\times 5-9\times 10}&-\frac{10}{-10\times 5-9\times 10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-5\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{28}&\frac{9}{140}\\\frac{1}{14}&\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-5\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{28}\left(-9\right)+\frac{9}{140}\left(-5\right)\\\frac{1}{14}\left(-9\right)+\frac{1}{14}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-1\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू y र x लाई ता्नुहोस्।

$$y=0,x=-1$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$-10y+9x=-9,10y+5x=-5$$

-10y र 10y लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 10 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -10 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$10\left(-10\right)y+10\times 9x=10\left(-9\right),-10\times 10y-10\times 5x=-10\left(-5\right)$$

सरल गर्नुहोस्।

$$-100y+90x=-90,-100y-50x=50$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर -100y+90x=-90 बाट -100y-50x=50 घटाउनुहोस्।

$$-100y+100y+90x+50x=-90-50$$

100y मा -100y जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै -100y र 100y राशी रद्द हुन्छन्।

$$90x+50x=-90-50$$

50x मा 90x जोड्नुहोस्

$$140x=-90-50$$

-50 मा -90 जोड्नुहोस्

$$140x=-140$$

दुबैतिर 140 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-1$$

10y+5x=-5 मा x लाई -1 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले y लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$10y+5\left(-1\right)=-5$$

5 लाई -1 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$10y-5=-5$$

समीकरणको दुबैतिर 5 जोड्नुहोस्।

$$10y=0$$

दुबैतिर 10 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=0$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$y=0,x=-1$$