समाधान {l}{-10x-6y=12}{4x+7y=-14}

$$\left. \begin{array} { l } { - 10 x - 6 y = 12 } \\ { 4 x + 7 y = - 14 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=0$$

$$y=-2$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-10x-6y=12,4x+7y=-14$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$-10x-6y=12$$

समीकरणको दुबैतिर 6y जोड्नुहोस्।

$$-10x=6y+12$$

दुबैतिर -10 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{1}{10}\left(6y+12\right)$$

-\frac{1}{10} लाई 12+6y पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{3}{5}y-\frac{6}{5}$$

\frac{-3y-6}{5} लाई x ले अर्को समीकरण 4x+7y=-14 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$4\left(-\frac{3}{5}y-\frac{6}{5}\right)+7y=-14$$

4 लाई \frac{-3y-6}{5} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{12}{5}y-\frac{24}{5}+7y=-14$$

7y मा -\frac{12y}{5} जोड्नुहोस्

$$\frac{23}{5}y-\frac{24}{5}=-14$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{24}{5} जोड्नुहोस्।

$$\frac{23}{5}y=-\frac{46}{5}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{23}{5} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=-2$$

x=-\frac{3}{5}y-\frac{6}{5} मा y लाई -2 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{3}{5}\left(-2\right)-\frac{6}{5}$$

-\frac{3}{5} लाई -2 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{6-6}{5}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर -\frac{6}{5} लाई \frac{6}{5} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=0$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=0,y=-2$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$-10x-6y=12,4x+7y=-14$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}-10&-6\\4&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\-14\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}-10&-6\\4&7\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}-10&-6\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10&-6\\4&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&-6\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-14\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&-6\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-14\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&-6\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-14\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{-10\times 7-\left(-6\times 4\right)}&-\frac{-6}{-10\times 7-\left(-6\times 4\right)}\\-\frac{4}{-10\times 7-\left(-6\times 4\right)}&-\frac{10}{-10\times 7-\left(-6\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-14\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{46}&-\frac{3}{23}\\\frac{2}{23}&\frac{5}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-14\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{46}\times 12-\frac{3}{23}\left(-14\right)\\\frac{2}{23}\times 12+\frac{5}{23}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=0,y=-2$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$-10x-6y=12,4x+7y=-14$$

-10x र 4x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 4 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -10 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$4\left(-10\right)x+4\left(-6\right)y=4\times 12,-10\times 4x-10\times 7y=-10\left(-14\right)$$

सरल गर्नुहोस्।

$$-40x-24y=48,-40x-70y=140$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर -40x-24y=48 बाट -40x-70y=140 घटाउनुहोस्।

$$-40x+40x-24y+70y=48-140$$

40x मा -40x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै -40x र 40x राशी रद्द हुन्छन्।

$$-24y+70y=48-140$$

70y मा -24y जोड्नुहोस्

$$46y=48-140$$

-140 मा 48 जोड्नुहोस्

$$46y=-92$$

दुबैतिर 46 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-2$$

4x+7y=-14 मा y लाई -2 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$4x+7\left(-2\right)=-14$$

7 लाई -2 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$4x-14=-14$$

समीकरणको दुबैतिर 14 जोड्नुहोस्।

$$4x=0$$

दुबैतिर 4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=0$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=0,y=-2$$