समाधान {l}{-10x+20y=460}{30x+60y=1620}

$$\left. \begin{array} { l } { - 10 x + 20 y = 460 } \\ { 30 x + 60 y = 1620 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=4$$

$$y=25$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-10x+20y=460,30x+60y=1620$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$-10x+20y=460$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 20y घटाउनुहोस्।

$$-10x=-20y+460$$

दुबैतिर -10 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{1}{10}\left(-20y+460\right)$$

-\frac{1}{10} लाई -20y+460 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=2y-46$$

-46+2y लाई x ले अर्को समीकरण 30x+60y=1620 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$30\left(2y-46\right)+60y=1620$$

30 लाई -46+2y पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$60y-1380+60y=1620$$

60y मा 60y जोड्नुहोस्

$$120y-1380=1620$$

समीकरणको दुबैतिर 1380 जोड्नुहोस्।

$$120y=3000$$

दुबैतिर 120 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=25$$

x=2y-46 मा y लाई 25 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=2\times 25-46$$

2 लाई 25 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=50-46$$

50 मा -46 जोड्नुहोस्

$$x=4$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=4,y=25$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$-10x+20y=460,30x+60y=1620$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{60}{-10\times 60-20\times 30}&-\frac{20}{-10\times 60-20\times 30}\\-\frac{30}{-10\times 60-20\times 30}&-\frac{10}{-10\times 60-20\times 30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{20}&\frac{1}{60}\\\frac{1}{40}&\frac{1}{120}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{20}\times 460+\frac{1}{60}\times 1620\\\frac{1}{40}\times 460+\frac{1}{120}\times 1620\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\25\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=4,y=25$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$-10x+20y=460,30x+60y=1620$$

-10x र 30x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 30 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -10 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$30\left(-10\right)x+30\times 20y=30\times 460,-10\times 30x-10\times 60y=-10\times 1620$$

सरल गर्नुहोस्।

$$-300x+600y=13800,-300x-600y=-16200$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर -300x+600y=13800 बाट -300x-600y=-16200 घटाउनुहोस्।

$$-300x+300x+600y+600y=13800+16200$$

300x मा -300x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै -300x र 300x राशी रद्द हुन्छन्।

$$600y+600y=13800+16200$$

600y मा 600y जोड्नुहोस्

$$1200y=13800+16200$$

16200 मा 13800 जोड्नुहोस्

$$1200y=30000$$

दुबैतिर 1200 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=25$$

30x+60y=1620 मा y लाई 25 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$30x+60\times 25=1620$$

60 लाई 25 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$30x+1500=1620$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 1500 घटाउनुहोस्।

$$30x=120$$

दुबैतिर 30 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=4$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=4,y=25$$