x, y को लागि हल गर्नुहोस् (complex solution)
\left\{\begin{matrix}x=-\frac{4\left(b-7\right)}{3a-2b-1}\text{, }y=-\frac{4\left(5-a\right)}{3a-2b-1}\text{, }&a\neq \frac{2b+1}{3}\\x=\frac{4-3y}{2}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&b=7\text{ and }a=5\end{matrix}\right.
x, y को लागि हल गर्नुहोस्
\left\{\begin{matrix}x=-\frac{4\left(b-7\right)}{3a-2b-1}\text{, }y=-\frac{4\left(5-a\right)}{3a-2b-1}\text{, }&a\neq \frac{2b+1}{3}\\x=\frac{4-3y}{2}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&b=7\text{ and }a=5\end{matrix}\right.
ग्राफ
साझेदारी गर्नुहोस्
क्लिपबोर्डमा प्रतिलिपि गरियो
\left(a+1\right)x+\left(b+2\right)y=12,2x+3y=4
प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।
\left(a+1\right)x+\left(b+2\right)y=12
समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।
\left(a+1\right)x=\left(-\left(b+2\right)\right)y+12
समीकरणको दुबैतिरबाट \left(b+2\right)y घटाउनुहोस्।
x=\frac{1}{a+1}\left(\left(-\left(b+2\right)\right)y+12\right)
दुबैतिर a+1 ले भाग गर्नुहोस्।
x=\left(-\frac{b+2}{a+1}\right)y+\frac{12}{a+1}
\frac{1}{a+1} लाई -\left(b+2\right)y+12 पटक गुणन गर्नुहोस्।
2\left(\left(-\frac{b+2}{a+1}\right)y+\frac{12}{a+1}\right)+3y=4
\frac{-by-2y+12}{a+1} लाई x ले अर्को समीकरण 2x+3y=4 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।
\left(-\frac{2\left(b+2\right)}{a+1}\right)y+\frac{24}{a+1}+3y=4
2 लाई \frac{-by-2y+12}{a+1} पटक गुणन गर्नुहोस्।
\frac{3a-2b-1}{a+1}y+\frac{24}{a+1}=4
3y मा -\frac{2\left(b+2\right)y}{a+1} जोड्नुहोस्
\frac{3a-2b-1}{a+1}y=\frac{4\left(a-5\right)}{a+1}
समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{24}{a+1} घटाउनुहोस्।
y=\frac{4\left(a-5\right)}{3a-2b-1}
दुबैतिर \frac{3a-1-2b}{a+1} ले भाग गर्नुहोस्।
x=\left(-\frac{b+2}{a+1}\right)\times \frac{4\left(a-5\right)}{3a-2b-1}+\frac{12}{a+1}
x=\left(-\frac{b+2}{a+1}\right)y+\frac{12}{a+1} मा y लाई \frac{4\left(a-5\right)}{3a-1-2b} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।
x=-\frac{4\left(a-5\right)\left(b+2\right)}{\left(a+1\right)\left(3a-2b-1\right)}+\frac{12}{a+1}
-\frac{b+2}{a+1} लाई \frac{4\left(a-5\right)}{3a-1-2b} पटक गुणन गर्नुहोस्।
x=\frac{4\left(7-b\right)}{3a-2b-1}
-\frac{4\left(b+2\right)\left(a-5\right)}{\left(a+1\right)\left(3a-1-2b\right)} मा \frac{12}{a+1} जोड्नुहोस्
x=\frac{4\left(7-b\right)}{3a-2b-1},y=\frac{4\left(a-5\right)}{3a-2b-1}
अब प्रणाली समाधान भएको छ।
\left(a+1\right)x+\left(b+2\right)y=12,2x+3y=4
समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।
\left(\begin{matrix}a+1&b+2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\4\end{matrix}\right)
समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।
inverse(\left(\begin{matrix}a+1&b+2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a+1&b+2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a+1&b+2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\4\end{matrix}\right)
समीकरणलाई \left(\begin{matrix}a+1&b+2\\2&3\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a+1&b+2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\4\end{matrix}\right)
म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a+1&b+2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\4\end{matrix}\right)
बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{\left(a+1\right)\times 3-\left(b+2\right)\times 2}&-\frac{b+2}{\left(a+1\right)\times 3-\left(b+2\right)\times 2}\\-\frac{2}{\left(a+1\right)\times 3-\left(b+2\right)\times 2}&\frac{a+1}{\left(a+1\right)\times 3-\left(b+2\right)\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\4\end{matrix}\right)
2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3a-2b-1}&-\frac{b+2}{3a-2b-1}\\-\frac{2}{3a-2b-1}&\frac{a+1}{3a-2b-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\4\end{matrix}\right)
हिसाब गर्नुहोस्।
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3a-2b-1}\times 12+\left(-\frac{b+2}{3a-2b-1}\right)\times 4\\\left(-\frac{2}{3a-2b-1}\right)\times 12+\frac{a+1}{3a-2b-1}\times 4\end{matrix}\right)
मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4\left(7-b\right)}{3a-2b-1}\\\frac{4\left(a-5\right)}{3a-2b-1}\end{matrix}\right)
हिसाब गर्नुहोस्।
x=\frac{4\left(7-b\right)}{3a-2b-1},y=\frac{4\left(a-5\right)}{3a-2b-1}
मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।
\left(a+1\right)x+\left(b+2\right)y=12,2x+3y=4
निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।
2\left(a+1\right)x+2\left(b+2\right)y=2\times 12,\left(a+1\right)\times 2x+\left(a+1\right)\times 3y=\left(a+1\right)\times 4
xa+x र 2x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 2 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई a+1 ले गुणन गर्नुहोस्।
\left(2a+2\right)x+\left(2b+4\right)y=24,\left(2a+2\right)x+\left(3a+3\right)y=4a+4
सरल गर्नुहोस्।
\left(2a+2\right)x+\left(-2a-2\right)x+\left(2b+4\right)y+\left(-3a-3\right)y=24-4a-4
बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर \left(2a+2\right)x+\left(2b+4\right)y=24 बाट \left(2a+2\right)x+\left(3a+3\right)y=4a+4 घटाउनुहोस्।
\left(2b+4\right)y+\left(-3a-3\right)y=24-4a-4
-2x-2xa मा 2\left(1+a\right)x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 2\left(1+a\right)x र -2x-2xa राशी रद्द हुन्छन्।
\left(1+2b-3a\right)y=24-4a-4
-3y-3ya मा 2\left(2+b\right)y जोड्नुहोस्
\left(1+2b-3a\right)y=20-4a
-4-4a मा 24 जोड्नुहोस्
y=\frac{4\left(5-a\right)}{1+2b-3a}
दुबैतिर 2b+1-3a ले भाग गर्नुहोस्।
2x+3\times \frac{4\left(5-a\right)}{1+2b-3a}=4
2x+3y=4 मा y लाई \frac{4\left(5-a\right)}{2b+1-3a} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।
2x+\frac{12\left(5-a\right)}{1+2b-3a}=4
3 लाई \frac{4\left(5-a\right)}{2b+1-3a} पटक गुणन गर्नुहोस्।
2x=\frac{8\left(b-7\right)}{1+2b-3a}
समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{12\left(5-a\right)}{2b+1-3a} घटाउनुहोस्।
x=\frac{4\left(b-7\right)}{1+2b-3a}
दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।
x=\frac{4\left(b-7\right)}{1+2b-3a},y=\frac{4\left(5-a\right)}{1+2b-3a}
अब प्रणाली समाधान भएको छ।
\left(a+1\right)x+\left(b+2\right)y=12,2x+3y=4
प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।
\left(a+1\right)x+\left(b+2\right)y=12
समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।
\left(a+1\right)x=\left(-\left(b+2\right)\right)y+12
समीकरणको दुबैतिरबाट \left(b+2\right)y घटाउनुहोस्।
x=\frac{1}{a+1}\left(\left(-\left(b+2\right)\right)y+12\right)
दुबैतिर a+1 ले भाग गर्नुहोस्।
x=\left(-\frac{b+2}{a+1}\right)y+\frac{12}{a+1}
\frac{1}{a+1} लाई -\left(b+2\right)y+12 पटक गुणन गर्नुहोस्।
2\left(\left(-\frac{b+2}{a+1}\right)y+\frac{12}{a+1}\right)+3y=4
\frac{-by-2y+12}{a+1} लाई x ले अर्को समीकरण 2x+3y=4 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।
\left(-\frac{2\left(b+2\right)}{a+1}\right)y+\frac{24}{a+1}+3y=4
2 लाई \frac{-by-2y+12}{a+1} पटक गुणन गर्नुहोस्।
\frac{3a-2b-1}{a+1}y+\frac{24}{a+1}=4
3y मा -\frac{2\left(b+2\right)y}{a+1} जोड्नुहोस्
\frac{3a-2b-1}{a+1}y=\frac{4\left(a-5\right)}{a+1}
समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{24}{a+1} घटाउनुहोस्।
y=\frac{4\left(a-5\right)}{3a-2b-1}
दुबैतिर \frac{3a-1-2b}{a+1} ले भाग गर्नुहोस्।
x=\left(-\frac{b+2}{a+1}\right)\times \frac{4\left(a-5\right)}{3a-2b-1}+\frac{12}{a+1}
x=\left(-\frac{b+2}{a+1}\right)y+\frac{12}{a+1} मा y लाई \frac{4\left(a-5\right)}{3a-1-2b} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।
x=-\frac{4\left(a-5\right)\left(b+2\right)}{\left(a+1\right)\left(3a-2b-1\right)}+\frac{12}{a+1}
-\frac{b+2}{a+1} लाई \frac{4\left(a-5\right)}{3a-1-2b} पटक गुणन गर्नुहोस्।
x=\frac{4\left(7-b\right)}{3a-2b-1}
-\frac{4\left(b+2\right)\left(a-5\right)}{\left(a+1\right)\left(3a-1-2b\right)} मा \frac{12}{a+1} जोड्नुहोस्
x=\frac{4\left(7-b\right)}{3a-2b-1},y=\frac{4\left(a-5\right)}{3a-2b-1}
अब प्रणाली समाधान भएको छ।
\left(a+1\right)x+\left(b+2\right)y=12,2x+3y=4
समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।
\left(\begin{matrix}a+1&b+2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\4\end{matrix}\right)
समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।
inverse(\left(\begin{matrix}a+1&b+2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a+1&b+2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a+1&b+2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\4\end{matrix}\right)
समीकरणलाई \left(\begin{matrix}a+1&b+2\\2&3\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a+1&b+2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\4\end{matrix}\right)
म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a+1&b+2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\4\end{matrix}\right)
बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{\left(a+1\right)\times 3-\left(b+2\right)\times 2}&-\frac{b+2}{\left(a+1\right)\times 3-\left(b+2\right)\times 2}\\-\frac{2}{\left(a+1\right)\times 3-\left(b+2\right)\times 2}&\frac{a+1}{\left(a+1\right)\times 3-\left(b+2\right)\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\4\end{matrix}\right)
2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3a-2b-1}&-\frac{b+2}{3a-2b-1}\\-\frac{2}{3a-2b-1}&\frac{a+1}{3a-2b-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\4\end{matrix}\right)
हिसाब गर्नुहोस्।
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3a-2b-1}\times 12+\left(-\frac{b+2}{3a-2b-1}\right)\times 4\\\left(-\frac{2}{3a-2b-1}\right)\times 12+\frac{a+1}{3a-2b-1}\times 4\end{matrix}\right)
मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4\left(7-b\right)}{3a-2b-1}\\\frac{4\left(a-5\right)}{3a-2b-1}\end{matrix}\right)
हिसाब गर्नुहोस्।
x=\frac{4\left(7-b\right)}{3a-2b-1},y=\frac{4\left(a-5\right)}{3a-2b-1}
मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।
\left(a+1\right)x+\left(b+2\right)y=12,2x+3y=4
निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।
2\left(a+1\right)x+2\left(b+2\right)y=2\times 12,\left(a+1\right)\times 2x+\left(a+1\right)\times 3y=\left(a+1\right)\times 4
xa+x र 2x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 2 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई a+1 ले गुणन गर्नुहोस्।
\left(2a+2\right)x+\left(2b+4\right)y=24,\left(2a+2\right)x+\left(3a+3\right)y=4a+4
सरल गर्नुहोस्।
\left(2a+2\right)x+\left(-2a-2\right)x+\left(2b+4\right)y+\left(-3a-3\right)y=24-4a-4
बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर \left(2a+2\right)x+\left(2b+4\right)y=24 बाट \left(2a+2\right)x+\left(3a+3\right)y=4a+4 घटाउनुहोस्।
\left(2b+4\right)y+\left(-3a-3\right)y=24-4a-4
-2x-2xa मा 2\left(1+a\right)x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 2\left(1+a\right)x र -2x-2xa राशी रद्द हुन्छन्।
\left(1+2b-3a\right)y=24-4a-4
-3y-3ya मा 2\left(2+b\right)y जोड्नुहोस्
\left(1+2b-3a\right)y=20-4a
-4-4a मा 24 जोड्नुहोस्
y=\frac{4\left(5-a\right)}{1+2b-3a}
दुबैतिर 2b+1-3a ले भाग गर्नुहोस्।
2x+3\times \frac{4\left(5-a\right)}{1+2b-3a}=4
2x+3y=4 मा y लाई \frac{4\left(5-a\right)}{2b+1-3a} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।
2x+\frac{12\left(5-a\right)}{1+2b-3a}=4
3 लाई \frac{4\left(5-a\right)}{2b+1-3a} पटक गुणन गर्नुहोस्।
2x=\frac{8\left(b-7\right)}{1+2b-3a}
समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{12\left(5-a\right)}{2b+1-3a} घटाउनुहोस्।
x=\frac{4\left(b-7\right)}{1+2b-3a}
दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।
x=\frac{4\left(b-7\right)}{1+2b-3a},y=\frac{4\left(5-a\right)}{1+2b-3a}
अब प्रणाली समाधान भएको छ।
उदाहरणहरू[सम्पादन गर्ने]
द्विघात समीकरण
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
त्रिकोणमिति
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
रैखिक समीकरण
y = 3x + 4
अंकगणित
699 * 533
म्याट्रिक्स
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
समकालिक समीकरण
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
भिन्नता
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
Integration
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
सीमाहरू
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}