समाधान {l}{(A+B)3-B=6}{(2A+B)3^2-B=42}

$$\left. \begin{array} { l } { ( A + B ) 3 - B = 6 } \\ { ( 2 A + B ) 3 ^ { 2 } - B = 42 } \end{array} \right.$$

A, B को लागि हल गर्नुहोस्

$$A=3$$

$$B = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। A+B लाई 3 ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$3A+3B-B=6$$

2B प्राप्त गर्नको लागि 3B र -B लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$3A+2B=6$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। 2 को पावरमा 3 हिसाब गरी 9 प्राप्त गर्नुहोस्।

$$\left(2A+B\right)\times 9-B=42$$

2A+B लाई 9 ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$18A+9B-B=42$$

8B प्राप्त गर्नको लागि 9B र -B लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$18A+8B=42$$

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$3A+2B=6,18A+8B=42$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको A लाई अलग गरी A का लागि हल गर्नुहोस्।

$$3A+2B=6$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 2B घटाउनुहोस्।

$$3A=-2B+6$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$A=\frac{1}{3}\left(-2B+6\right)$$

\frac{1}{3} लाई -2B+6 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$A=-\frac{2}{3}B+2$$

-\frac{2B}{3}+2 लाई A ले अर्को समीकरण 18A+8B=42 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$18\left(-\frac{2}{3}B+2\right)+8B=42$$

18 लाई -\frac{2B}{3}+2 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-12B+36+8B=42$$

8B मा -12B जोड्नुहोस्

$$-4B+36=42$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 36 घटाउनुहोस्।

$$-4B=6$$

दुबैतिर -4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$B=-\frac{3}{2}$$

A=-\frac{2}{3}B+2 मा B लाई -\frac{3}{2} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले A लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$A=-\frac{2}{3}\left(-\frac{3}{2}\right)+2$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी -\frac{2}{3} लाई -\frac{3}{2} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$A=1+2$$

1 मा 2 जोड्नुहोस्

$$A=3$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$A=3,B=-\frac{3}{2}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। A+B लाई 3 ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$3A+3B-B=6$$

2B प्राप्त गर्नको लागि 3B र -B लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$3A+2B=6$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। 2 को पावरमा 3 हिसाब गरी 9 प्राप्त गर्नुहोस्।

$$\left(2A+B\right)\times 9-B=42$$

2A+B लाई 9 ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$18A+9B-B=42$$

8B प्राप्त गर्नको लागि 9B र -B लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$18A+8B=42$$

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$3A+2B=6,18A+8B=42$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}3&2\\18&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\42\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}3&2\\18&8\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\18&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\18&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\18&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\42\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\18&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\42\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\18&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\42\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3\times 8-2\times 18}&-\frac{2}{3\times 8-2\times 18}\\-\frac{18}{3\times 8-2\times 18}&\frac{3}{3\times 8-2\times 18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\42\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}&\frac{1}{6}\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\42\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\times 6+\frac{1}{6}\times 42\\\frac{3}{2}\times 6-\frac{1}{4}\times 42\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू A र B लाई ता्नुहोस्।

$$A=3,B=-\frac{3}{2}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। A+B लाई 3 ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$3A+3B-B=6$$

2B प्राप्त गर्नको लागि 3B र -B लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$3A+2B=6$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। 2 को पावरमा 3 हिसाब गरी 9 प्राप्त गर्नुहोस्।

$$\left(2A+B\right)\times 9-B=42$$

2A+B लाई 9 ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$18A+9B-B=42$$

8B प्राप्त गर्नको लागि 9B र -B लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$18A+8B=42$$

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$3A+2B=6,18A+8B=42$$

3A र 18A लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 18 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 3 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$18\times 3A+18\times 2B=18\times 6,3\times 18A+3\times 8B=3\times 42$$

सरल गर्नुहोस्।

$$54A+36B=108,54A+24B=126$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 54A+36B=108 बाट 54A+24B=126 घटाउनुहोस्।

$$54A-54A+36B-24B=108-126$$

-54A मा 54A जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 54A र -54A राशी रद्द हुन्छन्।

$$36B-24B=108-126$$

-24B मा 36B जोड्नुहोस्

$$12B=108-126$$

-126 मा 108 जोड्नुहोस्

$$12B=-18$$

दुबैतिर 12 ले भाग गर्नुहोस्।

$$B=-\frac{3}{2}$$

18A+8B=42 मा B लाई -\frac{3}{2} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले A लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$18A+8\left(-\frac{3}{2}\right)=42$$

8 लाई -\frac{3}{2} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$18A-12=42$$

समीकरणको दुबैतिर 12 जोड्नुहोस्।

$$18A=54$$

दुबैतिर 18 ले भाग गर्नुहोस्।

$$A=3$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$A=3,B=-\frac{3}{2}$$