समाधान {l}{y+2z/3=4}{5y/6+7z/3=8}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { y + 2 z } { 3 } = 4 } \\ { \frac { 5 y } { 6 } + \frac { 7 z } { 3 } = 8 } \end{array} \right.$$

y, z को लागि हल गर्नुहोस्

$$y=18$$

$$z=-3$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुबैतिर 3 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$y+2z=4\times 3$$

12 प्राप्त गर्नको लागि 4 र 3 गुणा गर्नुहोस्।

$$y+2z=12$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। समीकरणको दुबै तर्फ 6,3 को लघुत्तम समापवर्त्यक 6 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$5y+2\times 7z=48$$

14 प्राप्त गर्नको लागि 2 र 7 गुणा गर्नुहोस्।

$$5y+14z=48$$

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$y+2z=12,5y+14z=48$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको y लाई अलग गरी y का लागि हल गर्नुहोस्।

$$y+2z=12$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 2z घटाउनुहोस्।

$$y=-2z+12$$

-2z+12 लाई y ले अर्को समीकरण 5y+14z=48 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$5\left(-2z+12\right)+14z=48$$

5 लाई -2z+12 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-10z+60+14z=48$$

14z मा -10z जोड्नुहोस्

$$4z+60=48$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 60 घटाउनुहोस्।

$$4z=-12$$

दुबैतिर 4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$z=-3$$

y=-2z+12 मा z लाई -3 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले y लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$y=-2\left(-3\right)+12$$

-2 लाई -3 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$y=6+12$$

6 मा 12 जोड्नुहोस्

$$y=18$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$y=18,z=-3$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुबैतिर 3 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$y+2z=4\times 3$$

12 प्राप्त गर्नको लागि 4 र 3 गुणा गर्नुहोस्।

$$y+2z=12$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। समीकरणको दुबै तर्फ 6,3 को लघुत्तम समापवर्त्यक 6 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$5y+2\times 7z=48$$

14 प्राप्त गर्नको लागि 2 र 7 गुणा गर्नुहोस्।

$$5y+14z=48$$

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$y+2z=12,5y+14z=48$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{14}{14-2\times 5}&-\frac{2}{14-2\times 5}\\-\frac{5}{14-2\times 5}&\frac{1}{14-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{5}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}\times 12-\frac{1}{2}\times 48\\-\frac{5}{4}\times 12+\frac{1}{4}\times 48\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\-3\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू y र z लाई ता्नुहोस्।

$$y=18,z=-3$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुबैतिर 3 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$y+2z=4\times 3$$

12 प्राप्त गर्नको लागि 4 र 3 गुणा गर्नुहोस्।

$$y+2z=12$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। समीकरणको दुबै तर्फ 6,3 को लघुत्तम समापवर्त्यक 6 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$5y+2\times 7z=48$$

14 प्राप्त गर्नको लागि 2 र 7 गुणा गर्नुहोस्।

$$5y+14z=48$$

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$y+2z=12,5y+14z=48$$

y र 5y लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 5 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 1 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$5y+5\times 2z=5\times 12,5y+14z=48$$

सरल गर्नुहोस्।

$$5y+10z=60,5y+14z=48$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 5y+10z=60 बाट 5y+14z=48 घटाउनुहोस्।

$$5y-5y+10z-14z=60-48$$

-5y मा 5y जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 5y र -5y राशी रद्द हुन्छन्।

$$10z-14z=60-48$$

-14z मा 10z जोड्नुहोस्

$$-4z=60-48$$

-48 मा 60 जोड्नुहोस्

$$-4z=12$$

दुबैतिर -4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$z=-3$$

5y+14z=48 मा z लाई -3 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले y लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$5y+14\left(-3\right)=48$$

14 लाई -3 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$5y-42=48$$

समीकरणको दुबैतिर 42 जोड्नुहोस्।

$$5y=90$$

दुबैतिर 5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=18$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$y=18,z=-3$$