समाधान {l}{x/4-y/4=-1}{x+4y=-9}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 4 } - \frac { y } { 4 } = - 1 } \\ { x + 4 y = - 9 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=-5$$

$$y=-1$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। समीकरणको दुबैतिर 4 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$x-y=-4$$

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$x-y=-4,x+4y=-9$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$x-y=-4$$

समीकरणको दुबैतिर y जोड्नुहोस्।

$$x=y-4$$

y-4 लाई x ले अर्को समीकरण x+4y=-9 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$y-4+4y=-9$$

4y मा y जोड्नुहोस्

$$5y-4=-9$$

समीकरणको दुबैतिर 4 जोड्नुहोस्।

$$5y=-5$$

दुबैतिर 5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-1$$

x=y-4 मा y लाई -1 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-1-4$$

-1 मा -4 जोड्नुहोस्

$$x=-5$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-5,y=-1$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। समीकरणको दुबैतिर 4 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$x-y=-4$$

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$x-y=-4,x+4y=-9$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-9\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}1&-1\\1&4\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-9\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-9\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{4-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{4-\left(-1\right)}&\frac{1}{4-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-9\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-9\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}\left(-4\right)+\frac{1}{5}\left(-9\right)\\-\frac{1}{5}\left(-4\right)+\frac{1}{5}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=-5,y=-1$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। समीकरणको दुबैतिर 4 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$x-y=-4$$

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$x-y=-4,x+4y=-9$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर x-y=-4 बाट x+4y=-9 घटाउनुहोस्।

$$x-x-y-4y=-4+9$$

-x मा x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै x र -x राशी रद्द हुन्छन्।

$$-y-4y=-4+9$$

-4y मा -y जोड्नुहोस्

$$-5y=-4+9$$

9 मा -4 जोड्नुहोस्

$$-5y=5$$

दुबैतिर -5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-1$$

x+4y=-9 मा y लाई -1 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x+4\left(-1\right)=-9$$

4 लाई -1 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x-4=-9$$

समीकरणको दुबैतिर 4 जोड्नुहोस्।

$$x=-5$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-5,y=-1$$