समाधान {l}{108/100x+110y/100=1008}{110/100x+108/100y=1028}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 108 } { 100 } x + \frac { 110 y } { 100 } = 1008 } \\ { \frac { 110 } { 100 } x + \frac { 108 } { 100 } y = 1028 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = \frac{105400}{109} = 966\frac{106}{109} \approx 966.972477064$$

$$y = -\frac{3600}{109} = -33\frac{3}{109} \approx -33.027522936$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। समीकरणको दुबैतिर 100 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$108x+110y=100800$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। 10 लाई झिकेर र रद्द गरेर, भिनन \frac{110}{100} लाई तल्लो टर्ममा घटाउनुहोस्।

$$\frac{11}{10}x+\frac{108}{100}y=1028$$

4 लाई झिकेर र रद्द गरेर, भिनन \frac{108}{100} लाई तल्लो टर्ममा घटाउनुहोस्।

$$\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$108x+110y=100800,\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$108x+110y=100800$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 110y घटाउनुहोस्।

$$108x=-110y+100800$$

दुबैतिर 108 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{108}\left(-110y+100800\right)$$

\frac{1}{108} लाई -110y+100800 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{55}{54}y+\frac{2800}{3}$$

-\frac{55y}{54}+\frac{2800}{3} लाई x ले अर्को समीकरण \frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$\frac{11}{10}\left(-\frac{55}{54}y+\frac{2800}{3}\right)+\frac{27}{25}y=1028$$

\frac{11}{10} लाई -\frac{55y}{54}+\frac{2800}{3} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{121}{108}y+\frac{3080}{3}+\frac{27}{25}y=1028$$

\frac{27y}{25} मा -\frac{121y}{108} जोड्नुहोस्

$$-\frac{109}{2700}y+\frac{3080}{3}=1028$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{3080}{3} घटाउनुहोस्।

$$-\frac{109}{2700}y=\frac{4}{3}$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{109}{2700} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=-\frac{3600}{109}$$

x=-\frac{55}{54}y+\frac{2800}{3} मा y लाई -\frac{3600}{109} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{55}{54}\left(-\frac{3600}{109}\right)+\frac{2800}{3}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी -\frac{55}{54} लाई -\frac{3600}{109} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=\frac{11000}{327}+\frac{2800}{3}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{2800}{3} लाई \frac{11000}{327} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=\frac{105400}{109}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{105400}{109},y=-\frac{3600}{109}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। समीकरणको दुबैतिर 100 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$108x+110y=100800$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। 10 लाई झिकेर र रद्द गरेर, भिनन \frac{110}{100} लाई तल्लो टर्ममा घटाउनुहोस्।

$$\frac{11}{10}x+\frac{108}{100}y=1028$$

4 लाई झिकेर र रद्द गरेर, भिनन \frac{108}{100} लाई तल्लो टर्ममा घटाउनुहोस्।

$$\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$108x+110y=100800,\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{27}{25}}{108\times \frac{27}{25}-110\times \frac{11}{10}}&-\frac{110}{108\times \frac{27}{25}-110\times \frac{11}{10}}\\-\frac{\frac{11}{10}}{108\times \frac{27}{25}-110\times \frac{11}{10}}&\frac{108}{108\times \frac{27}{25}-110\times \frac{11}{10}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{27}{109}&\frac{2750}{109}\\\frac{55}{218}&-\frac{2700}{109}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{27}{109}\times 100800+\frac{2750}{109}\times 1028\\\frac{55}{218}\times 100800-\frac{2700}{109}\times 1028\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{105400}{109}\\-\frac{3600}{109}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{105400}{109},y=-\frac{3600}{109}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। समीकरणको दुबैतिर 100 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$108x+110y=100800$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। 10 लाई झिकेर र रद्द गरेर, भिनन \frac{110}{100} लाई तल्लो टर्ममा घटाउनुहोस्।

$$\frac{11}{10}x+\frac{108}{100}y=1028$$

4 लाई झिकेर र रद्द गरेर, भिनन \frac{108}{100} लाई तल्लो टर्ममा घटाउनुहोस्।

$$\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$108x+110y=100800,\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

108x र \frac{11x}{10} लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई \frac{11}{10} ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 108 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$\frac{11}{10}\times 108x+\frac{11}{10}\times 110y=\frac{11}{10}\times 100800,108\times \frac{11}{10}x+108\times \frac{27}{25}y=108\times 1028$$

सरल गर्नुहोस्।

$$\frac{594}{5}x+121y=110880,\frac{594}{5}x+\frac{2916}{25}y=111024$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर \frac{594}{5}x+121y=110880 बाट \frac{594}{5}x+\frac{2916}{25}y=111024 घटाउनुहोस्।

$$\frac{594}{5}x-\frac{594}{5}x+121y-\frac{2916}{25}y=110880-111024$$

-\frac{594x}{5} मा \frac{594x}{5} जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै \frac{594x}{5} र -\frac{594x}{5} राशी रद्द हुन्छन्।

$$121y-\frac{2916}{25}y=110880-111024$$

-\frac{2916y}{25} मा 121y जोड्नुहोस्

$$\frac{109}{25}y=110880-111024$$

-111024 मा 110880 जोड्नुहोस्

$$\frac{109}{25}y=-144$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{109}{25} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=-\frac{3600}{109}$$

\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028 मा y लाई -\frac{3600}{109} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}\left(-\frac{3600}{109}\right)=1028$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी \frac{27}{25} लाई -\frac{3600}{109} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$\frac{11}{10}x-\frac{3888}{109}=1028$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{3888}{109} जोड्नुहोस्।

$$\frac{11}{10}x=\frac{115940}{109}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{11}{10} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$x=\frac{105400}{109}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{105400}{109},y=-\frac{3600}{109}$$