समाधान {l}{1/5y-x=1/2text{op}}{1/3x-1/2y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 5 } y - x = \frac { 1 } { 2 } \text { op } } \\ { \frac { 1 } { 3 } x - \frac { 1 } { 2 } y = 10 } \end{array} \right.$$

y, x को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = \frac{45}{2} = 22\frac{1}{2} = 22.5$$

$$y=115$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$\frac{1}{5}y-x=\frac{1}{2},-\frac{1}{2}y+3x=10$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको y लाई अलग गरी y का लागि हल गर्नुहोस्।

$$\frac{1}{5}y-x=\frac{1}{2}$$

समीकरणको दुबैतिर x जोड्नुहोस्।

$$\frac{1}{5}y=x+\frac{1}{2}$$

दुबैतिर 5 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$y=5\left(x+\frac{1}{2}\right)$$

5 लाई x+\frac{1}{2} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$y=5x+\frac{5}{2}$$

5x+\frac{5}{2} लाई y ले अर्को समीकरण -\frac{1}{2}y+3x=10 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-\frac{1}{2}\left(5x+\frac{5}{2}\right)+3x=10$$

-\frac{1}{2} लाई 5x+\frac{5}{2} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{5}{2}x-\frac{5}{4}+3x=10$$

3x मा -\frac{5x}{2} जोड्नुहोस्

$$\frac{1}{2}x-\frac{5}{4}=10$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{5}{4} जोड्नुहोस्।

$$\frac{1}{2}x=\frac{45}{4}$$

दुबैतिर 2 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{45}{2}$$

y=5x+\frac{5}{2} मा x लाई \frac{45}{2} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले y लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$y=5\times \frac{45}{2}+\frac{5}{2}$$

5 लाई \frac{45}{2} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$y=\frac{225+5}{2}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{5}{2} लाई \frac{225}{2} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$y=115$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$y=115,x=\frac{45}{2}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$\frac{1}{5}y-x=\frac{1}{2},-\frac{1}{2}y+3x=10$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{\frac{1}{5}\times 3-\left(-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}&-\frac{-1}{\frac{1}{5}\times 3-\left(-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}\\-\frac{-\frac{1}{2}}{\frac{1}{5}\times 3-\left(-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}&\frac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{5}\times 3-\left(-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30&10\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30\times \frac{1}{2}+10\times 10\\5\times \frac{1}{2}+2\times 10\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}115\\\frac{45}{2}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू y र x लाई ता्नुहोस्।

$$y=115,x=\frac{45}{2}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$\frac{1}{5}y-x=\frac{1}{2},-\frac{1}{2}y+3x=10$$

\frac{y}{5} र -\frac{y}{2} लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -\frac{1}{2} ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई \frac{1}{5} ले गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{1}{2}\times \frac{1}{5}y-\frac{1}{2}\left(-1\right)x=-\frac{1}{2}\times \frac{1}{2},\frac{1}{5}\left(-\frac{1}{2}\right)y+\frac{1}{5}\times 3x=\frac{1}{5}\times 10$$

सरल गर्नुहोस्।

$$-\frac{1}{10}y+\frac{1}{2}x=-\frac{1}{4},-\frac{1}{10}y+\frac{3}{5}x=2$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर -\frac{1}{10}y+\frac{1}{2}x=-\frac{1}{4} बाट -\frac{1}{10}y+\frac{3}{5}x=2 घटाउनुहोस्।

$$-\frac{1}{10}y+\frac{1}{10}y+\frac{1}{2}x-\frac{3}{5}x=-\frac{1}{4}-2$$

\frac{y}{10} मा -\frac{y}{10} जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै -\frac{y}{10} र \frac{y}{10} राशी रद्द हुन्छन्।

$$\frac{1}{2}x-\frac{3}{5}x=-\frac{1}{4}-2$$

-\frac{3x}{5} मा \frac{x}{2} जोड्नुहोस्

$$-\frac{1}{10}x=-\frac{1}{4}-2$$

-2 मा -\frac{1}{4} जोड्नुहोस्

$$-\frac{1}{10}x=-\frac{9}{4}$$

दुबैतिर -10 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{45}{2}$$

-\frac{1}{2}y+3x=10 मा x लाई \frac{45}{2} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले y लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$-\frac{1}{2}y+3\times \frac{45}{2}=10$$

3 लाई \frac{45}{2} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{1}{2}y+\frac{135}{2}=10$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{135}{2} घटाउनुहोस्।

$$-\frac{1}{2}y=-\frac{115}{2}$$

दुबैतिर -2 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$y=115$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$y=115,x=\frac{45}{2}$$