समाधान {l}{1/3x+2/5y=1/4}{3/2x+frac{2}{3}y=frac{1}{6}}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 3 } x + \frac { 2 } { 5 } y = \frac { 1 } { 4 } } \\ { \frac { 3 } { 2 } x + \frac { 2 } { 3 } y = \frac { 1 } { 6 } } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=-\frac{9}{34}\approx -0.264705882$$

$$y=\frac{115}{136}\approx 0.845588235$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$\frac{1}{3}x+\frac{2}{5}y=\frac{1}{4},\frac{3}{2}x+\frac{2}{3}y=\frac{1}{6}$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$\frac{1}{3}x+\frac{2}{5}y=\frac{1}{4}$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{2y}{5} घटाउनुहोस्।

$$\frac{1}{3}x=-\frac{2}{5}y+\frac{1}{4}$$

दुबैतिर 3 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$x=3\left(-\frac{2}{5}y+\frac{1}{4}\right)$$

3 लाई -\frac{2y}{5}+\frac{1}{4} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{6}{5}y+\frac{3}{4}$$

-\frac{6y}{5}+\frac{3}{4} लाई x ले अर्को समीकरण \frac{3}{2}x+\frac{2}{3}y=\frac{1}{6} मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$\frac{3}{2}\left(-\frac{6}{5}y+\frac{3}{4}\right)+\frac{2}{3}y=\frac{1}{6}$$

\frac{3}{2} लाई -\frac{6y}{5}+\frac{3}{4} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{9}{5}y+\frac{9}{8}+\frac{2}{3}y=\frac{1}{6}$$

\frac{2y}{3} मा -\frac{9y}{5} जोड्नुहोस्

$$-\frac{17}{15}y+\frac{9}{8}=\frac{1}{6}$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{9}{8} घटाउनुहोस्।

$$-\frac{17}{15}y=-\frac{23}{24}$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{17}{15} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=\frac{115}{136}$$

x=-\frac{6}{5}y+\frac{3}{4} मा y लाई \frac{115}{136} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{6}{5}\times \frac{115}{136}+\frac{3}{4}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी -\frac{6}{5} लाई \frac{115}{136} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=-\frac{69}{68}+\frac{3}{4}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{3}{4} लाई -\frac{69}{68} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=-\frac{9}{34}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-\frac{9}{34},y=\frac{115}{136}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$\frac{1}{3}x+\frac{2}{5}y=\frac{1}{4},\frac{3}{2}x+\frac{2}{3}y=\frac{1}{6}$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{5}\\\frac{3}{2}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\\frac{1}{6}\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{5}\\\frac{3}{2}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{5}\\\frac{3}{2}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{5}\\\frac{3}{2}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{5}\\\frac{3}{2}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\\frac{1}{6}\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{5}\\\frac{3}{2}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\\frac{1}{6}\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{5}\\\frac{3}{2}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\\frac{1}{6}\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{2}{3}}{\frac{1}{3}\times \frac{2}{3}-\frac{2}{5}\times \frac{3}{2}}&-\frac{\frac{2}{5}}{\frac{1}{3}\times \frac{2}{3}-\frac{2}{5}\times \frac{3}{2}}\\-\frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{3}\times \frac{2}{3}-\frac{2}{5}\times \frac{3}{2}}&\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}\times \frac{2}{3}-\frac{2}{5}\times \frac{3}{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\\frac{1}{6}\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{30}{17}&\frac{18}{17}\\\frac{135}{34}&-\frac{15}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\\frac{1}{6}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{30}{17}\times \frac{1}{4}+\frac{18}{17}\times \frac{1}{6}\\\frac{135}{34}\times \frac{1}{4}-\frac{15}{17}\times \frac{1}{6}\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{34}\\\frac{115}{136}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=-\frac{9}{34},y=\frac{115}{136}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$\frac{1}{3}x+\frac{2}{5}y=\frac{1}{4},\frac{3}{2}x+\frac{2}{3}y=\frac{1}{6}$$

\frac{x}{3} र \frac{3x}{2} लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई \frac{3}{2} ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई \frac{1}{3} ले गुणन गर्नुहोस्।

$$\frac{3}{2}\times \frac{1}{3}x+\frac{3}{2}\times \frac{2}{5}y=\frac{3}{2}\times \frac{1}{4},\frac{1}{3}\times \frac{3}{2}x+\frac{1}{3}\times \frac{2}{3}y=\frac{1}{3}\times \frac{1}{6}$$

सरल गर्नुहोस्।

$$\frac{1}{2}x+\frac{3}{5}y=\frac{3}{8},\frac{1}{2}x+\frac{2}{9}y=\frac{1}{18}$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर \frac{1}{2}x+\frac{3}{5}y=\frac{3}{8} बाट \frac{1}{2}x+\frac{2}{9}y=\frac{1}{18} घटाउनुहोस्।

$$\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}x+\frac{3}{5}y-\frac{2}{9}y=\frac{3}{8}-\frac{1}{18}$$

-\frac{x}{2} मा \frac{x}{2} जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै \frac{x}{2} र -\frac{x}{2} राशी रद्द हुन्छन्।

$$\frac{3}{5}y-\frac{2}{9}y=\frac{3}{8}-\frac{1}{18}$$

-\frac{2y}{9} मा \frac{3y}{5} जोड्नुहोस्

$$\frac{17}{45}y=\frac{3}{8}-\frac{1}{18}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{3}{8} लाई -\frac{1}{18} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$\frac{17}{45}y=\frac{23}{72}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{17}{45} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=\frac{115}{136}$$

\frac{3}{2}x+\frac{2}{3}y=\frac{1}{6} मा y लाई \frac{115}{136} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$\frac{3}{2}x+\frac{2}{3}\times \frac{115}{136}=\frac{1}{6}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी \frac{2}{3} लाई \frac{115}{136} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$\frac{3}{2}x+\frac{115}{204}=\frac{1}{6}$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{115}{204} घटाउनुहोस्।

$$\frac{3}{2}x=-\frac{27}{68}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{3}{2} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$x=-\frac{9}{34}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-\frac{9}{34},y=\frac{115}{136}$$