समाधान {l}{1/2x-4/5y=-2}{1/6x-1/3y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 2 } x - \frac { 4 } { 5 } y = - 2 } \\ { \frac { 1 } { 6 } x - \frac { 1 } { 3 } y = 2 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=-68$$

$$y=-40$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$\frac{1}{2}x-\frac{4}{5}y=-2,\frac{1}{6}x-\frac{1}{3}y=2$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$\frac{1}{2}x-\frac{4}{5}y=-2$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{4y}{5} जोड्नुहोस्।

$$\frac{1}{2}x=\frac{4}{5}y-2$$

दुबैतिर 2 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$x=2\left(\frac{4}{5}y-2\right)$$

2 लाई \frac{4y}{5}-2 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{8}{5}y-4$$

\frac{8y}{5}-4 लाई x ले अर्को समीकरण \frac{1}{6}x-\frac{1}{3}y=2 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$\frac{1}{6}\left(\frac{8}{5}y-4\right)-\frac{1}{3}y=2$$

\frac{1}{6} लाई \frac{8y}{5}-4 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$\frac{4}{15}y-\frac{2}{3}-\frac{1}{3}y=2$$

-\frac{y}{3} मा \frac{4y}{15} जोड्नुहोस्

$$-\frac{1}{15}y-\frac{2}{3}=2$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{2}{3} जोड्नुहोस्।

$$-\frac{1}{15}y=\frac{8}{3}$$

दुबैतिर -15 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$y=-40$$

x=\frac{8}{5}y-4 मा y लाई -40 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=\frac{8}{5}\left(-40\right)-4$$

\frac{8}{5} लाई -40 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-64-4$$

-64 मा -4 जोड्नुहोस्

$$x=-68$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-68,y=-40$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$\frac{1}{2}x-\frac{4}{5}y=-2,\frac{1}{6}x-\frac{1}{3}y=2$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{4}{5}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{4}{5}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{4}{5}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{4}{5}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{4}{5}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{4}{5}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{4}{5}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{3}\right)-\left(-\frac{4}{5}\times \frac{1}{6}\right)}&-\frac{-\frac{4}{5}}{\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{3}\right)-\left(-\frac{4}{5}\times \frac{1}{6}\right)}\\-\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{3}\right)-\left(-\frac{4}{5}\times \frac{1}{6}\right)}&\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{3}\right)-\left(-\frac{4}{5}\times \frac{1}{6}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10&-24\\5&-15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\left(-2\right)-24\times 2\\5\left(-2\right)-15\times 2\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-68\\-40\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=-68,y=-40$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$\frac{1}{2}x-\frac{4}{5}y=-2,\frac{1}{6}x-\frac{1}{3}y=2$$

\frac{x}{2} र \frac{x}{6} लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई \frac{1}{6} ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई \frac{1}{2} ले गुणन गर्नुहोस्।

$$\frac{1}{6}\times \frac{1}{2}x+\frac{1}{6}\left(-\frac{4}{5}\right)y=\frac{1}{6}\left(-2\right),\frac{1}{2}\times \frac{1}{6}x+\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{3}\right)y=\frac{1}{2}\times 2$$

सरल गर्नुहोस्।

$$\frac{1}{12}x-\frac{2}{15}y=-\frac{1}{3},\frac{1}{12}x-\frac{1}{6}y=1$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर \frac{1}{12}x-\frac{2}{15}y=-\frac{1}{3} बाट \frac{1}{12}x-\frac{1}{6}y=1 घटाउनुहोस्।

$$\frac{1}{12}x-\frac{1}{12}x-\frac{2}{15}y+\frac{1}{6}y=-\frac{1}{3}-1$$

-\frac{x}{12} मा \frac{x}{12} जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै \frac{x}{12} र -\frac{x}{12} राशी रद्द हुन्छन्।

$$-\frac{2}{15}y+\frac{1}{6}y=-\frac{1}{3}-1$$

\frac{y}{6} मा -\frac{2y}{15} जोड्नुहोस्

$$\frac{1}{30}y=-\frac{1}{3}-1$$

-1 मा -\frac{1}{3} जोड्नुहोस्

$$\frac{1}{30}y=-\frac{4}{3}$$

दुबैतिर 30 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$y=-40$$

\frac{1}{6}x-\frac{1}{3}y=2 मा y लाई -40 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$\frac{1}{6}x-\frac{1}{3}\left(-40\right)=2$$

-\frac{1}{3} लाई -40 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$\frac{1}{6}x+\frac{40}{3}=2$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{40}{3} घटाउनुहोस्।

$$\frac{1}{6}x=-\frac{34}{3}$$

दुबैतिर 6 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-68$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-68,y=-40$$