समाधान {l}{+3|-5(-7+1|}{x-2019|=|x-}{2x+2y=9}{3x-7y=21}

$$\left. \begin{array} { l } { + 3 | - 5 ( - 7 + 1 | } \\ { x - 2019 | = | x - } \\ { 2 x + 2 y = 9 } \\ { 3 x - 7 y = 21 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = \frac{21}{4} = 5\frac{1}{4} = 5.25$$

$$y=-\frac{3}{4}=-0.75$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$2x+2y=9,3x-7y=21$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$2x+2y=9$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 2y घटाउनुहोस्।

$$2x=-2y+9$$

दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{2}\left(-2y+9\right)$$

\frac{1}{2} लाई -2y+9 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-y+\frac{9}{2}$$

-y+\frac{9}{2} लाई x ले अर्को समीकरण 3x-7y=21 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$3\left(-y+\frac{9}{2}\right)-7y=21$$

3 लाई -y+\frac{9}{2} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-3y+\frac{27}{2}-7y=21$$

-7y मा -3y जोड्नुहोस्

$$-10y+\frac{27}{2}=21$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{27}{2} घटाउनुहोस्।

$$-10y=\frac{15}{2}$$

दुबैतिर -10 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{3}{4}$$

x=-y+\frac{9}{2} मा y लाई -\frac{3}{4} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\left(-\frac{3}{4}\right)+\frac{9}{2}$$

-1 लाई -\frac{3}{4} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{3}{4}+\frac{9}{2}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{9}{2} लाई \frac{3}{4} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=\frac{21}{4}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{21}{4},y=-\frac{3}{4}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$2x+2y=9,3x-7y=21$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}2&2\\3&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}2&2\\3&-7\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\3&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&2\\3&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\3&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\3&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\3&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{2\left(-7\right)-2\times 3}&-\frac{2}{2\left(-7\right)-2\times 3}\\-\frac{3}{2\left(-7\right)-2\times 3}&\frac{2}{2\left(-7\right)-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{20}&\frac{1}{10}\\\frac{3}{20}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{20}\times 9+\frac{1}{10}\times 21\\\frac{3}{20}\times 9-\frac{1}{10}\times 21\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{21}{4}\\-\frac{3}{4}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{21}{4},y=-\frac{3}{4}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$2x+2y=9,3x-7y=21$$

2x र 3x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 3 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 2 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$3\times 2x+3\times 2y=3\times 9,2\times 3x+2\left(-7\right)y=2\times 21$$

सरल गर्नुहोस्।

$$6x+6y=27,6x-14y=42$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 6x+6y=27 बाट 6x-14y=42 घटाउनुहोस्।

$$6x-6x+6y+14y=27-42$$

-6x मा 6x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 6x र -6x राशी रद्द हुन्छन्।

$$6y+14y=27-42$$

14y मा 6y जोड्नुहोस्

$$20y=27-42$$

-42 मा 27 जोड्नुहोस्

$$20y=-15$$

दुबैतिर 20 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{3}{4}$$

3x-7y=21 मा y लाई -\frac{3}{4} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$3x-7\left(-\frac{3}{4}\right)=21$$

-7 लाई -\frac{3}{4} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$3x+\frac{21}{4}=21$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{21}{4} घटाउनुहोस्।

$$3x=\frac{63}{4}$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{21}{4}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{21}{4},y=-\frac{3}{4}$$