समाधान {c}{y-3x+15=10}{6-4x=y}

$$\left. \begin{array} { c } { y - 3 x + 15 = 10 } \\ { 6 - 4 x = y } \end{array} \right.$$

y, x को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = \frac{11}{7} = 1\frac{4}{7} \approx 1.571428571$$

$$y=-\frac{2}{7}\approx -0.285714286$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 15 घटाउनुहोस्।

$$y-3x=10-15$$

-5 प्राप्त गर्नको लागि 15 बाट 10 घटाउनुहोस्।

$$y-3x=-5$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट y घटाउनुहोस्।

$$6-4x-y=0$$

दुवै छेउबाट 6 घटाउनुहोस्। शून्यबाट कुनै अंक घटाउँदा सोही अंक बराबरको ऋणात्मक परिणाम आउँछ।

$$-4x-y=-6$$

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$y-3x=-5,-y-4x=-6$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको y लाई अलग गरी y का लागि हल गर्नुहोस्।

$$y-3x=-5$$

समीकरणको दुबैतिर 3x जोड्नुहोस्।

$$y=3x-5$$

3x-5 लाई y ले अर्को समीकरण -y-4x=-6 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-\left(3x-5\right)-4x=-6$$

-1 लाई 3x-5 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-3x+5-4x=-6$$

-4x मा -3x जोड्नुहोस्

$$-7x+5=-6$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 5 घटाउनुहोस्।

$$-7x=-11$$

दुबैतिर -7 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{11}{7}$$

y=3x-5 मा x लाई \frac{11}{7} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले y लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$y=3\times \frac{11}{7}-5$$

3 लाई \frac{11}{7} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$y=\frac{33}{7}-5$$

\frac{33}{7} मा -5 जोड्नुहोस्

$$y=-\frac{2}{7}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$y=-\frac{2}{7},x=\frac{11}{7}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 15 घटाउनुहोस्।

$$y-3x=10-15$$

-5 प्राप्त गर्नको लागि 15 बाट 10 घटाउनुहोस्।

$$y-3x=-5$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट y घटाउनुहोस्।

$$6-4x-y=0$$

दुवै छेउबाट 6 घटाउनुहोस्। शून्यबाट कुनै अंक घटाउँदा सोही अंक बराबरको ऋणात्मक परिणाम आउँछ।

$$-4x-y=-6$$

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$y-3x=-5,-y-4x=-6$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-\left(-3\left(-1\right)\right)}&-\frac{-3}{-4-\left(-3\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{-4-\left(-3\left(-1\right)\right)}&\frac{1}{-4-\left(-3\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{7}&-\frac{3}{7}\\-\frac{1}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{7}\left(-5\right)-\frac{3}{7}\left(-6\right)\\-\frac{1}{7}\left(-5\right)-\frac{1}{7}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}\\\frac{11}{7}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू y र x लाई ता्नुहोस्।

$$y=-\frac{2}{7},x=\frac{11}{7}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 15 घटाउनुहोस्।

$$y-3x=10-15$$

-5 प्राप्त गर्नको लागि 15 बाट 10 घटाउनुहोस्।

$$y-3x=-5$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट y घटाउनुहोस्।

$$6-4x-y=0$$

दुवै छेउबाट 6 घटाउनुहोस्। शून्यबाट कुनै अंक घटाउँदा सोही अंक बराबरको ऋणात्मक परिणाम आउँछ।

$$-4x-y=-6$$

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$y-3x=-5,-y-4x=-6$$

y र -y लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -1 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 1 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$-y-\left(-3x\right)=-\left(-5\right),-y-4x=-6$$

सरल गर्नुहोस्।

$$-y+3x=5,-y-4x=-6$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर -y+3x=5 बाट -y-4x=-6 घटाउनुहोस्।

$$-y+y+3x+4x=5+6$$

y मा -y जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै -y र y राशी रद्द हुन्छन्।

$$3x+4x=5+6$$

4x मा 3x जोड्नुहोस्

$$7x=5+6$$

6 मा 5 जोड्नुहोस्

$$7x=11$$

दुबैतिर 7 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{11}{7}$$

-y-4x=-6 मा x लाई \frac{11}{7} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले y लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$-y-4\times \frac{11}{7}=-6$$

-4 लाई \frac{11}{7} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-y-\frac{44}{7}=-6$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{44}{7} जोड्नुहोस्।

$$-y=\frac{2}{7}$$

दुबैतिर -1 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{2}{7}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$y=-\frac{2}{7},x=\frac{11}{7}$$