समाधान {c}{x-3y=6}{-8x-y=6}

$$\left. \begin{array} { c } { x - 3 y = 6 } \\ { - 8 x - y = 6 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=-\frac{12}{25}=-0.48$$

$$y = -\frac{54}{25} = -2\frac{4}{25} = -2.16$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$x-3y=6,-8x-y=6$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$x-3y=6$$

समीकरणको दुबैतिर 3y जोड्नुहोस्।

$$x=3y+6$$

6+3y लाई x ले अर्को समीकरण -8x-y=6 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-8\left(3y+6\right)-y=6$$

-8 लाई 6+3y पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-24y-48-y=6$$

-y मा -24y जोड्नुहोस्

$$-25y-48=6$$

समीकरणको दुबैतिर 48 जोड्नुहोस्।

$$-25y=54$$

दुबैतिर -25 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{54}{25}$$

x=3y+6 मा y लाई -\frac{54}{25} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=3\left(-\frac{54}{25}\right)+6$$

3 लाई -\frac{54}{25} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{162}{25}+6$$

-\frac{162}{25} मा 6 जोड्नुहोस्

$$x=-\frac{12}{25}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-\frac{12}{25},y=-\frac{54}{25}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$x-3y=6,-8x-y=6$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\-8&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}1&-3\\-8&-1\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\-8&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-3\left(-8\right)\right)}&-\frac{-3}{-1-\left(-3\left(-8\right)\right)}\\-\frac{-8}{-1-\left(-3\left(-8\right)\right)}&\frac{1}{-1-\left(-3\left(-8\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{25}&-\frac{3}{25}\\-\frac{8}{25}&-\frac{1}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{25}\times 6-\frac{3}{25}\times 6\\-\frac{8}{25}\times 6-\frac{1}{25}\times 6\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{12}{25}\\-\frac{54}{25}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=-\frac{12}{25},y=-\frac{54}{25}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$x-3y=6,-8x-y=6$$

x र -8x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -8 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 1 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$-8x-8\left(-3\right)y=-8\times 6,-8x-y=6$$

सरल गर्नुहोस्।

$$-8x+24y=-48,-8x-y=6$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर -8x+24y=-48 बाट -8x-y=6 घटाउनुहोस्।

$$-8x+8x+24y+y=-48-6$$

8x मा -8x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै -8x र 8x राशी रद्द हुन्छन्।

$$24y+y=-48-6$$

y मा 24y जोड्नुहोस्

$$25y=-48-6$$

-6 मा -48 जोड्नुहोस्

$$25y=-54$$

दुबैतिर 25 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{54}{25}$$

-8x-y=6 मा y लाई -\frac{54}{25} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$-8x-\left(-\frac{54}{25}\right)=6$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{54}{25} घटाउनुहोस्।

$$-8x=\frac{96}{25}$$

दुबैतिर -8 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{12}{25}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-\frac{12}{25},y=-\frac{54}{25}$$