समाधान {c}{x=3y+2}{x-5=4(y-5)}

$$\left. \begin{array} { c } { x = 3 y + 2 } \\ { x - 5 = 4 ( y - 5 ) } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=53$$

$$y=17$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 3y घटाउनुहोस्।

$$x-3y=2$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। 4 लाई y-5 ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$x-5=4y-20$$

दुवै छेउबाट 4y घटाउनुहोस्।

$$x-5-4y=-20$$

दुबै छेउहरूमा 5 थप्नुहोस्।

$$x-4y=-20+5$$

-15 प्राप्त गर्नको लागि -20 र 5 जोड्नुहोस्।

$$x-4y=-15$$

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$x-3y=2,x-4y=-15$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$x-3y=2$$

समीकरणको दुबैतिर 3y जोड्नुहोस्।

$$x=3y+2$$

3y+2 लाई x ले अर्को समीकरण x-4y=-15 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$3y+2-4y=-15$$

-4y मा 3y जोड्नुहोस्

$$-y+2=-15$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 2 घटाउनुहोस्।

$$-y=-17$$

दुबैतिर -1 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=17$$

x=3y+2 मा y लाई 17 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=3\times 17+2$$

3 लाई 17 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=51+2$$

51 मा 2 जोड्नुहोस्

$$x=53$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=53,y=17$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 3y घटाउनुहोस्।

$$x-3y=2$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। 4 लाई y-5 ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$x-5=4y-20$$

दुवै छेउबाट 4y घटाउनुहोस्।

$$x-5-4y=-20$$

दुबै छेउहरूमा 5 थप्नुहोस्।

$$x-4y=-20+5$$

-15 प्राप्त गर्नको लागि -20 र 5 जोड्नुहोस्।

$$x-4y=-15$$

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$x-3y=2,x-4y=-15$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-15\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}1&-3\\1&-4\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-15\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-15\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{-4-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{-4-\left(-3\right)}&\frac{1}{-4-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-15\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4&-3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-15\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\times 2-3\left(-15\right)\\2-\left(-15\right)\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}53\\17\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=53,y=17$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 3y घटाउनुहोस्।

$$x-3y=2$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। 4 लाई y-5 ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$x-5=4y-20$$

दुवै छेउबाट 4y घटाउनुहोस्।

$$x-5-4y=-20$$

दुबै छेउहरूमा 5 थप्नुहोस्।

$$x-4y=-20+5$$

-15 प्राप्त गर्नको लागि -20 र 5 जोड्नुहोस्।

$$x-4y=-15$$

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$x-3y=2,x-4y=-15$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर x-3y=2 बाट x-4y=-15 घटाउनुहोस्।

$$x-x-3y+4y=2+15$$

-x मा x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै x र -x राशी रद्द हुन्छन्।

$$-3y+4y=2+15$$

4y मा -3y जोड्नुहोस्

$$y=2+15$$

15 मा 2 जोड्नुहोस्

$$y=17$$

x-4y=-15 मा y लाई 17 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x-4\times 17=-15$$

-4 लाई 17 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x-68=-15$$

समीकरणको दुबैतिर 68 जोड्नुहोस्।

$$x=53$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=53,y=17$$