समाधान {c}{x+y=89}{2x+y=23y}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 89 } \\ { 2 x + y = 23 y } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = \frac{979}{12} = 81\frac{7}{12} \approx 81.583333333$$

$$y = \frac{89}{12} = 7\frac{5}{12} \approx 7.416666667$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 23y घटाउनुहोस्।

$$2x+y-23y=0$$

-22y प्राप्त गर्नको लागि y र -23y लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$2x-22y=0$$

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$x+y=89,2x-22y=0$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$x+y=89$$

समीकरणको दुबैतिरबाट y घटाउनुहोस्।

$$x=-y+89$$

-y+89 लाई x ले अर्को समीकरण 2x-22y=0 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$2\left(-y+89\right)-22y=0$$

2 लाई -y+89 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-2y+178-22y=0$$

-22y मा -2y जोड्नुहोस्

$$-24y+178=0$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 178 घटाउनुहोस्।

$$-24y=-178$$

दुबैतिर -24 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{89}{12}$$

x=-y+89 मा y लाई \frac{89}{12} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{89}{12}+89$$

-\frac{89}{12} मा 89 जोड्नुहोस्

$$x=\frac{979}{12}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{979}{12},y=\frac{89}{12}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 23y घटाउनुहोस्।

$$2x+y-23y=0$$

-22y प्राप्त गर्नको लागि y र -23y लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$2x-22y=0$$

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$x+y=89,2x-22y=0$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}89\\0\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}89\\0\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}89\\0\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}89\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{22}{-22-2}&-\frac{1}{-22-2}\\-\frac{2}{-22-2}&\frac{1}{-22-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}89\\0\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{12}&\frac{1}{24}\\\frac{1}{12}&-\frac{1}{24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}89\\0\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{12}\times 89\\\frac{1}{12}\times 89\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{979}{12}\\\frac{89}{12}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{979}{12},y=\frac{89}{12}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 23y घटाउनुहोस्।

$$2x+y-23y=0$$

-22y प्राप्त गर्नको लागि y र -23y लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$2x-22y=0$$

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$x+y=89,2x-22y=0$$

x र 2x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 2 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 1 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$2x+2y=2\times 89,2x-22y=0$$

सरल गर्नुहोस्।

$$2x+2y=178,2x-22y=0$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 2x+2y=178 बाट 2x-22y=0 घटाउनुहोस्।

$$2x-2x+2y+22y=178$$

-2x मा 2x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 2x र -2x राशी रद्द हुन्छन्।

$$2y+22y=178$$

22y मा 2y जोड्नुहोस्

$$24y=178$$

दुबैतिर 24 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{89}{12}$$

2x-22y=0 मा y लाई \frac{89}{12} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$2x-22\times \frac{89}{12}=0$$

-22 लाई \frac{89}{12} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$2x-\frac{979}{6}=0$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{979}{6} जोड्नुहोस्।

$$2x=\frac{979}{6}$$

दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{979}{12}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{979}{12},y=\frac{89}{12}$$