समाधान {c}{x+y=64}{12x+26y=19}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 64 } \\ { 12 x + 26 y = 19 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = \frac{235}{2} = 117\frac{1}{2} = 117.5$$

$$y = -\frac{107}{2} = -53\frac{1}{2} = -53.5$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$x+y=64,12x+26y=19$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$x+y=64$$

समीकरणको दुबैतिरबाट y घटाउनुहोस्।

$$x=-y+64$$

-y+64 लाई x ले अर्को समीकरण 12x+26y=19 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$12\left(-y+64\right)+26y=19$$

12 लाई -y+64 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-12y+768+26y=19$$

26y मा -12y जोड्नुहोस्

$$14y+768=19$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 768 घटाउनुहोस्।

$$14y=-749$$

दुबैतिर 14 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{107}{2}$$

x=-y+64 मा y लाई -\frac{107}{2} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\left(-\frac{107}{2}\right)+64$$

-1 लाई -\frac{107}{2} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{107}{2}+64$$

\frac{107}{2} मा 64 जोड्नुहोस्

$$x=\frac{235}{2}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{235}{2},y=-\frac{107}{2}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$x+y=64,12x+26y=19$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}1&1\\12&26\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}64\\19\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}1&1\\12&26\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\12&26\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\12&26\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\12&26\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\19\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\12&26\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\19\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\12&26\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\19\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{26}{26-12}&-\frac{1}{26-12}\\-\frac{12}{26-12}&\frac{1}{26-12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\\19\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{7}&-\frac{1}{14}\\-\frac{6}{7}&\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\\19\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{7}\times 64-\frac{1}{14}\times 19\\-\frac{6}{7}\times 64+\frac{1}{14}\times 19\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{235}{2}\\-\frac{107}{2}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{235}{2},y=-\frac{107}{2}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$x+y=64,12x+26y=19$$

x र 12x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 12 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 1 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$12x+12y=12\times 64,12x+26y=19$$

सरल गर्नुहोस्।

$$12x+12y=768,12x+26y=19$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 12x+12y=768 बाट 12x+26y=19 घटाउनुहोस्।

$$12x-12x+12y-26y=768-19$$

-12x मा 12x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 12x र -12x राशी रद्द हुन्छन्।

$$12y-26y=768-19$$

-26y मा 12y जोड्नुहोस्

$$-14y=768-19$$

-19 मा 768 जोड्नुहोस्

$$-14y=749$$

दुबैतिर -14 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{107}{2}$$

12x+26y=19 मा y लाई -\frac{107}{2} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$12x+26\left(-\frac{107}{2}\right)=19$$

26 लाई -\frac{107}{2} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$12x-1391=19$$

समीकरणको दुबैतिर 1391 जोड्नुहोस्।

$$12x=1410$$

दुबैतिर 12 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{235}{2}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{235}{2},y=-\frac{107}{2}$$