समाधान {c}{x+y=500}{8000x+13500y=4962500}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 500 } \\ { 8000 x + 13500 y = 4962500 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=325$$

$$y=175$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$x+y=500,8000x+13500y=4962500$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$x+y=500$$

समीकरणको दुबैतिरबाट y घटाउनुहोस्।

$$x=-y+500$$

-y+500 लाई x ले अर्को समीकरण 8000x+13500y=4962500 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$8000\left(-y+500\right)+13500y=4962500$$

8000 लाई -y+500 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-8000y+4000000+13500y=4962500$$

13500y मा -8000y जोड्नुहोस्

$$5500y+4000000=4962500$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 4000000 घटाउनुहोस्।

$$5500y=962500$$

दुबैतिर 5500 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=175$$

x=-y+500 मा y लाई 175 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-175+500$$

-175 मा 500 जोड्नुहोस्

$$x=325$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=325,y=175$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$x+y=500,8000x+13500y=4962500$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}1&1\\8000&13500\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}500\\4962500\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}1&1\\8000&13500\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\8000&13500\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\8000&13500\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\8000&13500\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\4962500\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\8000&13500\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\4962500\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\8000&13500\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\4962500\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13500}{13500-8000}&-\frac{1}{13500-8000}\\-\frac{8000}{13500-8000}&\frac{1}{13500-8000}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\4962500\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{27}{11}&-\frac{1}{5500}\\-\frac{16}{11}&\frac{1}{5500}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\4962500\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{27}{11}\times 500-\frac{1}{5500}\times 4962500\\-\frac{16}{11}\times 500+\frac{1}{5500}\times 4962500\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}325\\175\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=325,y=175$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$x+y=500,8000x+13500y=4962500$$

x र 8000x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 8000 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 1 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$8000x+8000y=8000\times 500,8000x+13500y=4962500$$

सरल गर्नुहोस्।

$$8000x+8000y=4000000,8000x+13500y=4962500$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 8000x+8000y=4000000 बाट 8000x+13500y=4962500 घटाउनुहोस्।

$$8000x-8000x+8000y-13500y=4000000-4962500$$

-8000x मा 8000x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 8000x र -8000x राशी रद्द हुन्छन्।

$$8000y-13500y=4000000-4962500$$

-13500y मा 8000y जोड्नुहोस्

$$-5500y=4000000-4962500$$

-4962500 मा 4000000 जोड्नुहोस्

$$-5500y=-962500$$

दुबैतिर -5500 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=175$$

8000x+13500y=4962500 मा y लाई 175 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$8000x+13500\times 175=4962500$$

13500 लाई 175 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$8000x+2362500=4962500$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 2362500 घटाउनुहोस्।

$$8000x=2600000$$

दुबैतिर 8000 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=325$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=325,y=175$$