समाधान {c}{x+y=50}{300x+200y=11500}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 50 } \\ { 300 x + 200 y = 11500 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=15$$

$$y=35$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$x+y=50,300x+200y=11500$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$x+y=50$$

समीकरणको दुबैतिरबाट y घटाउनुहोस्।

$$x=-y+50$$

-y+50 लाई x ले अर्को समीकरण 300x+200y=11500 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$300\left(-y+50\right)+200y=11500$$

300 लाई -y+50 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-300y+15000+200y=11500$$

200y मा -300y जोड्नुहोस्

$$-100y+15000=11500$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 15000 घटाउनुहोस्।

$$-100y=-3500$$

दुबैतिर -100 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=35$$

x=-y+50 मा y लाई 35 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-35+50$$

-35 मा 50 जोड्नुहोस्

$$x=15$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=15,y=35$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$x+y=50,300x+200y=11500$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}1&1\\300&200\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\11500\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}1&1\\300&200\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\300&200\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\11500\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\11500\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\11500\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{200}{200-300}&-\frac{1}{200-300}\\-\frac{300}{200-300}&\frac{1}{200-300}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\11500\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&\frac{1}{100}\\3&-\frac{1}{100}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\11500\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\times 50+\frac{1}{100}\times 11500\\3\times 50-\frac{1}{100}\times 11500\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\35\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=15,y=35$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$x+y=50,300x+200y=11500$$

x र 300x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 300 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 1 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$300x+300y=300\times 50,300x+200y=11500$$

सरल गर्नुहोस्।

$$300x+300y=15000,300x+200y=11500$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 300x+300y=15000 बाट 300x+200y=11500 घटाउनुहोस्।

$$300x-300x+300y-200y=15000-11500$$

-300x मा 300x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 300x र -300x राशी रद्द हुन्छन्।

$$300y-200y=15000-11500$$

-200y मा 300y जोड्नुहोस्

$$100y=15000-11500$$

-11500 मा 15000 जोड्नुहोस्

$$100y=3500$$

दुबैतिर 100 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=35$$

300x+200y=11500 मा y लाई 35 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$300x+200\times 35=11500$$

200 लाई 35 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$300x+7000=11500$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 7000 घटाउनुहोस्।

$$300x=4500$$

दुबैतिर 300 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=15$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=15,y=35$$