समाधान {c}{x+y=21}{.25x+.05y=3.35}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 21 } \\ { .25 x + .05 y = 3.35 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=11.5$$

$$y=9.5$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$x+y=21,0.25x+0.05y=3.35$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$x+y=21$$

समीकरणको दुबैतिरबाट y घटाउनुहोस्।

$$x=-y+21$$

-y+21 लाई x ले अर्को समीकरण 0.25x+0.05y=3.35 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$0.25\left(-y+21\right)+0.05y=3.35$$

0.25 लाई -y+21 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-0.25y+5.25+0.05y=3.35$$

\frac{y}{20} मा -\frac{y}{4} जोड्नुहोस्

$$-0.2y+5.25=3.35$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 5.25 घटाउनुहोस्।

$$-0.2y=-1.9$$

दुबैतिर -5 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$y=9.5$$

x=-y+21 मा y लाई 9.5 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-9.5+21$$

-9.5 मा 21 जोड्नुहोस्

$$x=11.5$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=11.5,y=9.5$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$x+y=21,0.25x+0.05y=3.35$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.05}{0.05-0.25}&-\frac{1}{0.05-0.25}\\-\frac{0.25}{0.05-0.25}&\frac{1}{0.05-0.25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.25&5\\1.25&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.25\times 21+5\times 3.35\\1.25\times 21-5\times 3.35\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11.5\\9.5\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=11.5,y=9.5$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$x+y=21,0.25x+0.05y=3.35$$

x र \frac{x}{4} लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 0.25 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 1 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$0.25x+0.25y=0.25\times 21,0.25x+0.05y=3.35$$

सरल गर्नुहोस्।

$$0.25x+0.25y=5.25,0.25x+0.05y=3.35$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 0.25x+0.25y=5.25 बाट 0.25x+0.05y=3.35 घटाउनुहोस्।

$$0.25x-0.25x+0.25y-0.05y=5.25-3.35$$

-\frac{x}{4} मा \frac{x}{4} जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै \frac{x}{4} र -\frac{x}{4} राशी रद्द हुन्छन्।

$$0.25y-0.05y=5.25-3.35$$

-\frac{y}{20} मा \frac{y}{4} जोड्नुहोस्

$$0.2y=5.25-3.35$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर 5.25 लाई -3.35 मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$0.2y=1.9$$

दुबैतिर 5 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$y=9.5$$

0.25x+0.05y=3.35 मा y लाई 9.5 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$0.25x+0.05\times 9.5=3.35$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी 0.05 लाई 9.5 पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$0.25x+0.475=3.35$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 0.475 घटाउनुहोस्।

$$0.25x=2.875$$

दुबैतिर 4 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$x=11.5$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=11.5,y=9.5$$