समाधान {c}{8x+6y=-10}{-8x-5y=15}

$$\left. \begin{array} { c } { 8 x + 6 y = - 10 } \\ { - 8 x - 5 y = 15 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=-5$$

$$y=5$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$8x+6y=-10,-8x-5y=15$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$8x+6y=-10$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 6y घटाउनुहोस्।

$$8x=-6y-10$$

दुबैतिर 8 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{8}\left(-6y-10\right)$$

\frac{1}{8} लाई -6y-10 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{3}{4}y-\frac{5}{4}$$

\frac{-3y-5}{4} लाई x ले अर्को समीकरण -8x-5y=15 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-8\left(-\frac{3}{4}y-\frac{5}{4}\right)-5y=15$$

-8 लाई \frac{-3y-5}{4} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$6y+10-5y=15$$

-5y मा 6y जोड्नुहोस्

$$y+10=15$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 10 घटाउनुहोस्।

$$y=5$$

x=-\frac{3}{4}y-\frac{5}{4} मा y लाई 5 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{3}{4}\times 5-\frac{5}{4}$$

-\frac{3}{4} लाई 5 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-15-5}{4}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर -\frac{5}{4} लाई -\frac{15}{4} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=-5$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-5,y=5$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$8x+6y=-10,-8x-5y=15$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}8&6\\-8&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\15\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}8&6\\-8&-5\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&6\\-8&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&6\\-8&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&6\\-8&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\15\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&6\\-8&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\15\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&6\\-8&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{8\left(-5\right)-6\left(-8\right)}&-\frac{6}{8\left(-5\right)-6\left(-8\right)}\\-\frac{-8}{8\left(-5\right)-6\left(-8\right)}&\frac{8}{8\left(-5\right)-6\left(-8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\15\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{8}&-\frac{3}{4}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\15\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{8}\left(-10\right)-\frac{3}{4}\times 15\\-10+15\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\5\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=-5,y=5$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$8x+6y=-10,-8x-5y=15$$

8x र -8x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -8 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 8 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$-8\times 8x-8\times 6y=-8\left(-10\right),8\left(-8\right)x+8\left(-5\right)y=8\times 15$$

सरल गर्नुहोस्।

$$-64x-48y=80,-64x-40y=120$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर -64x-48y=80 बाट -64x-40y=120 घटाउनुहोस्।

$$-64x+64x-48y+40y=80-120$$

64x मा -64x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै -64x र 64x राशी रद्द हुन्छन्।

$$-48y+40y=80-120$$

40y मा -48y जोड्नुहोस्

$$-8y=80-120$$

-120 मा 80 जोड्नुहोस्

$$-8y=-40$$

दुबैतिर -8 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=5$$

-8x-5y=15 मा y लाई 5 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$-8x-5\times 5=15$$

-5 लाई 5 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-8x-25=15$$

समीकरणको दुबैतिर 25 जोड्नुहोस्।

$$-8x=40$$

दुबैतिर -8 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-5$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-5,y=5$$