समाधान {c}{8x+4y=10}{4x+9y=30}

$$\left. \begin{array} { c } { 8 x + 4 y = 10 } \\ { 4 x + 9 y = 30 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=-\frac{15}{28}\approx -0.535714286$$

$$y = \frac{25}{7} = 3\frac{4}{7} \approx 3.571428571$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$8x+4y=10,4x+9y=30$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$8x+4y=10$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 4y घटाउनुहोस्।

$$8x=-4y+10$$

दुबैतिर 8 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{8}\left(-4y+10\right)$$

\frac{1}{8} लाई -4y+10 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{5}{4}$$

-\frac{y}{2}+\frac{5}{4} लाई x ले अर्को समीकरण 4x+9y=30 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$4\left(-\frac{1}{2}y+\frac{5}{4}\right)+9y=30$$

4 लाई -\frac{y}{2}+\frac{5}{4} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-2y+5+9y=30$$

9y मा -2y जोड्नुहोस्

$$7y+5=30$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 5 घटाउनुहोस्।

$$7y=25$$

दुबैतिर 7 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{25}{7}$$

x=-\frac{1}{2}y+\frac{5}{4} मा y लाई \frac{25}{7} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{25}{7}+\frac{5}{4}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी -\frac{1}{2} लाई \frac{25}{7} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=-\frac{25}{14}+\frac{5}{4}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{5}{4} लाई -\frac{25}{14} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=-\frac{15}{28}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-\frac{15}{28},y=\frac{25}{7}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$8x+4y=10,4x+9y=30$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}8&4\\4&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}8&4\\4&9\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&4\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&4\\4&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&4\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&4\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&4\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{8\times 9-4\times 4}&-\frac{4}{8\times 9-4\times 4}\\-\frac{4}{8\times 9-4\times 4}&\frac{8}{8\times 9-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{56}&-\frac{1}{14}\\-\frac{1}{14}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{56}\times 10-\frac{1}{14}\times 30\\-\frac{1}{14}\times 10+\frac{1}{7}\times 30\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{28}\\\frac{25}{7}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=-\frac{15}{28},y=\frac{25}{7}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$8x+4y=10,4x+9y=30$$

8x र 4x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 4 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 8 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$4\times 8x+4\times 4y=4\times 10,8\times 4x+8\times 9y=8\times 30$$

सरल गर्नुहोस्।

$$32x+16y=40,32x+72y=240$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 32x+16y=40 बाट 32x+72y=240 घटाउनुहोस्।

$$32x-32x+16y-72y=40-240$$

-32x मा 32x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 32x र -32x राशी रद्द हुन्छन्।

$$16y-72y=40-240$$

-72y मा 16y जोड्नुहोस्

$$-56y=40-240$$

-240 मा 40 जोड्नुहोस्

$$-56y=-200$$

दुबैतिर -56 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{25}{7}$$

4x+9y=30 मा y लाई \frac{25}{7} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$4x+9\times \frac{25}{7}=30$$

9 लाई \frac{25}{7} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$4x+\frac{225}{7}=30$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{225}{7} घटाउनुहोस्।

$$4x=-\frac{15}{7}$$

दुबैतिर 4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{15}{28}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-\frac{15}{28},y=\frac{25}{7}$$