समाधान {c}{3.90x+y=359.70}{-1.80x-y=-131}

$$\left. \begin{array} { c } { 3.90 x + y = 359.70 } \\ { - 1.80 x - y = - 131 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = \frac{2287}{21} = 108\frac{19}{21} \approx 108.904761905$$

$$y = -\frac{2276}{35} = -65\frac{1}{35} \approx -65.028571429$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$3.9x+y=359.7,-1.8x-y=-131$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$3.9x+y=359.7$$

समीकरणको दुबैतिरबाट y घटाउनुहोस्।

$$3.9x=-y+359.7$$

समीकरणको दुबैतिर 3.9 ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$x=\frac{10}{39}\left(-y+359.7\right)$$

\frac{10}{39} लाई -y+359.7 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{10}{39}y+\frac{1199}{13}$$

-\frac{10y}{39}+\frac{1199}{13} लाई x ले अर्को समीकरण -1.8x-y=-131 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-1.8\left(-\frac{10}{39}y+\frac{1199}{13}\right)-y=-131$$

-1.8 लाई -\frac{10y}{39}+\frac{1199}{13} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$\frac{6}{13}y-\frac{10791}{65}-y=-131$$

-y मा \frac{6y}{13} जोड्नुहोस्

$$-\frac{7}{13}y-\frac{10791}{65}=-131$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{10791}{65} जोड्नुहोस्।

$$-\frac{7}{13}y=\frac{2276}{65}$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{7}{13} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=-\frac{2276}{35}$$

x=-\frac{10}{39}y+\frac{1199}{13} मा y लाई -\frac{2276}{35} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{10}{39}\left(-\frac{2276}{35}\right)+\frac{1199}{13}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी -\frac{10}{39} लाई -\frac{2276}{35} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=\frac{4552}{273}+\frac{1199}{13}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{1199}{13} लाई \frac{4552}{273} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=\frac{2287}{21}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{2287}{21},y=-\frac{2276}{35}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$3.9x+y=359.7,-1.8x-y=-131$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}359.7\\-131\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}359.7\\-131\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}359.7\\-131\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}359.7\\-131\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3.9\left(-1\right)-\left(-1.8\right)}&-\frac{1}{3.9\left(-1\right)-\left(-1.8\right)}\\-\frac{-1.8}{3.9\left(-1\right)-\left(-1.8\right)}&\frac{3.9}{3.9\left(-1\right)-\left(-1.8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}359.7\\-131\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{21}&\frac{10}{21}\\-\frac{6}{7}&-\frac{13}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}359.7\\-131\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{21}\times 359.7+\frac{10}{21}\left(-131\right)\\-\frac{6}{7}\times 359.7-\frac{13}{7}\left(-131\right)\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2287}{21}\\-\frac{2276}{35}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{2287}{21},y=-\frac{2276}{35}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$3.9x+y=359.7,-1.8x-y=-131$$

\frac{39x}{10} र -\frac{9x}{5} लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -1.8 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 3.9 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$-1.8\times 3.9x-1.8y=-1.8\times 359.7,3.9\left(-1.8\right)x+3.9\left(-1\right)y=3.9\left(-131\right)$$

सरल गर्नुहोस्।

$$-7.02x-1.8y=-647.46,-7.02x-3.9y=-510.9$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर -7.02x-1.8y=-647.46 बाट -7.02x-3.9y=-510.9 घटाउनुहोस्।

$$-7.02x+7.02x-1.8y+3.9y=-647.46+510.9$$

\frac{351x}{50} मा -\frac{351x}{50} जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै -\frac{351x}{50} र \frac{351x}{50} राशी रद्द हुन्छन्।

$$-1.8y+3.9y=-647.46+510.9$$

\frac{39y}{10} मा -\frac{9y}{5} जोड्नुहोस्

$$2.1y=-647.46+510.9$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर -647.46 लाई 510.9 मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$2.1y=-136.56$$

समीकरणको दुबैतिर 2.1 ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=-\frac{2276}{35}$$

-1.8x-y=-131 मा y लाई -\frac{2276}{35} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$-1.8x-\left(-\frac{2276}{35}\right)=-131$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{2276}{35} घटाउनुहोस्।

$$-1.8x=-\frac{6861}{35}$$

समीकरणको दुबैतिर -1.8 ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$x=\frac{2287}{21}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{2287}{21},y=-\frac{2276}{35}$$