समाधान {c}{3x+y+5=0}{-2x-y+1=0}

$$\left. \begin{array} { c } { 3 x + y + 5 = 0 } \\ { - 2 x - y + 1 = 0 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=-6$$

$$y=13$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$3x+y+5=0,-2x-y+1=0$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$3x+y+5=0$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 5 घटाउनुहोस्।

$$3x+y=-5$$

समीकरणको दुबैतिरबाट y घटाउनुहोस्।

$$3x=-y-5$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{3}\left(-y-5\right)$$

\frac{1}{3} लाई -y-5 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{1}{3}y-\frac{5}{3}$$

\frac{-y-5}{3} लाई x ले अर्को समीकरण -2x-y+1=0 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-2\left(-\frac{1}{3}y-\frac{5}{3}\right)-y+1=0$$

-2 लाई \frac{-y-5}{3} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$\frac{2}{3}y+\frac{10}{3}-y+1=0$$

-y मा \frac{2y}{3} जोड्नुहोस्

$$-\frac{1}{3}y+\frac{10}{3}+1=0$$

1 मा \frac{10}{3} जोड्नुहोस्

$$-\frac{1}{3}y+\frac{13}{3}=0$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{13}{3} घटाउनुहोस्।

$$-\frac{1}{3}y=-\frac{13}{3}$$

दुबैतिर -3 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$y=13$$

x=-\frac{1}{3}y-\frac{5}{3} मा y लाई 13 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{1}{3}\times 13-\frac{5}{3}$$

-\frac{1}{3} लाई 13 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-13-5}{3}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर -\frac{5}{3} लाई -\frac{13}{3} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=-6$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-6,y=13$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$3x+y+5=0,-2x-y+1=0$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}&-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\-2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5-1\\-2\left(-5\right)-3\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\13\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=-6,y=13$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$3x+y+5=0,-2x-y+1=0$$

3x र -2x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -2 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 3 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$-2\times 3x-2y-2\times 5=0,3\left(-2\right)x+3\left(-1\right)y+3=0$$

सरल गर्नुहोस्।

$$-6x-2y-10=0,-6x-3y+3=0$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर -6x-2y-10=0 बाट -6x-3y+3=0 घटाउनुहोस्।

$$-6x+6x-2y+3y-10-3=0$$

6x मा -6x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै -6x र 6x राशी रद्द हुन्छन्।

$$-2y+3y-10-3=0$$

3y मा -2y जोड्नुहोस्

$$y-10-3=0$$

-3 मा -10 जोड्नुहोस्

$$y-13=0$$

समीकरणको दुबैतिर 13 जोड्नुहोस्।

$$y=13$$

-2x-y+1=0 मा y लाई 13 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$-2x-13+1=0$$

1 मा -13 जोड्नुहोस्

$$-2x-12=0$$

समीकरणको दुबैतिर 12 जोड्नुहोस्।

$$-2x=12$$

दुबैतिर -2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-6$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-6,y=13$$