समाधान {c}{3x+2y=32}{365x+226y=35.92}

$$\left. \begin{array} { c } { 3 x + 2 y = 32 } \\ { 365 x + 226 y = 35.92 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = -\frac{44751}{325} = -137\frac{226}{325} \approx -137.695384615$$

$$y = \frac{144653}{650} = 222\frac{353}{650} \approx 222.543076923$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$3x+2y=32,365x+226y=35.92$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$3x+2y=32$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 2y घटाउनुहोस्।

$$3x=-2y+32$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+32\right)$$

\frac{1}{3} लाई -2y+32 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{32}{3}$$

\frac{-2y+32}{3} लाई x ले अर्को समीकरण 365x+226y=35.92 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$365\left(-\frac{2}{3}y+\frac{32}{3}\right)+226y=35.92$$

365 लाई \frac{-2y+32}{3} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{730}{3}y+\frac{11680}{3}+226y=35.92$$

226y मा -\frac{730y}{3} जोड्नुहोस्

$$-\frac{52}{3}y+\frac{11680}{3}=35.92$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{11680}{3} घटाउनुहोस्।

$$-\frac{52}{3}y=-\frac{289306}{75}$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{52}{3} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=\frac{144653}{650}$$

x=-\frac{2}{3}y+\frac{32}{3} मा y लाई \frac{144653}{650} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{144653}{650}+\frac{32}{3}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी -\frac{2}{3} लाई \frac{144653}{650} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=-\frac{144653}{975}+\frac{32}{3}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{32}{3} लाई -\frac{144653}{975} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=-\frac{44751}{325}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-\frac{44751}{325},y=\frac{144653}{650}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$3x+2y=32,365x+226y=35.92$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}32\\35.92\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\35.92\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\35.92\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\35.92\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{226}{3\times 226-2\times 365}&-\frac{2}{3\times 226-2\times 365}\\-\frac{365}{3\times 226-2\times 365}&\frac{3}{3\times 226-2\times 365}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}32\\35.92\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{113}{26}&\frac{1}{26}\\\frac{365}{52}&-\frac{3}{52}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}32\\35.92\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{113}{26}\times 32+\frac{1}{26}\times 35.92\\\frac{365}{52}\times 32-\frac{3}{52}\times 35.92\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{44751}{325}\\\frac{144653}{650}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=-\frac{44751}{325},y=\frac{144653}{650}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$3x+2y=32,365x+226y=35.92$$

3x र 365x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 365 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 3 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$365\times 3x+365\times 2y=365\times 32,3\times 365x+3\times 226y=3\times 35.92$$

सरल गर्नुहोस्।

$$1095x+730y=11680,1095x+678y=107.76$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 1095x+730y=11680 बाट 1095x+678y=107.76 घटाउनुहोस्।

$$1095x-1095x+730y-678y=11680-107.76$$

-1095x मा 1095x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 1095x र -1095x राशी रद्द हुन्छन्।

$$730y-678y=11680-107.76$$

-678y मा 730y जोड्नुहोस्

$$52y=11680-107.76$$

-107.76 मा 11680 जोड्नुहोस्

$$52y=11572.24$$

दुबैतिर 52 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{144653}{650}$$

365x+226y=35.92 मा y लाई \frac{144653}{650} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$365x+226\times \frac{144653}{650}=35.92$$

226 लाई \frac{144653}{650} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$365x+\frac{16345789}{325}=35.92$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{16345789}{325} घटाउनुहोस्।

$$365x=-\frac{3266823}{65}$$

दुबैतिर 365 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{44751}{325}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-\frac{44751}{325},y=\frac{144653}{650}$$