समाधान {c}{3a=c+4+a/2}{a=c}

$$\left. \begin{array} { c } { 3 a = c + 4 + \frac { a } { 2 } } \\ { a = c } \end{array} \right.$$

a, c को लागि हल गर्नुहोस्

$$a = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2.666666667$$

$$c = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2.666666667$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। समीकरणको दुबैतिर 2 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$6a=2c+8+a$$

दुवै छेउबाट 2c घटाउनुहोस्।

$$6a-2c=8+a$$

दुवै छेउबाट a घटाउनुहोस्।

$$6a-2c-a=8$$

5a प्राप्त गर्नको लागि 6a र -a लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$5a-2c=8$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट c घटाउनुहोस्।

$$a-c=0$$

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$5a-2c=8,a-c=0$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको a लाई अलग गरी a का लागि हल गर्नुहोस्।

$$5a-2c=8$$

समीकरणको दुबैतिर 2c जोड्नुहोस्।

$$5a=2c+8$$

दुबैतिर 5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$a=\frac{1}{5}\left(2c+8\right)$$

\frac{1}{5} लाई 8+2c पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$a=\frac{2}{5}c+\frac{8}{5}$$

\frac{8+2c}{5} लाई a ले अर्को समीकरण a-c=0 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$\frac{2}{5}c+\frac{8}{5}-c=0$$

-c मा \frac{2c}{5} जोड्नुहोस्

$$-\frac{3}{5}c+\frac{8}{5}=0$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{8}{5} घटाउनुहोस्।

$$-\frac{3}{5}c=-\frac{8}{5}$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{3}{5} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$c=\frac{8}{3}$$

a=\frac{2}{5}c+\frac{8}{5} मा c लाई \frac{8}{3} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले a लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$a=\frac{2}{5}\times \frac{8}{3}+\frac{8}{5}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी \frac{2}{5} लाई \frac{8}{3} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$a=\frac{16}{15}+\frac{8}{5}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{8}{5} लाई \frac{16}{15} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$a=\frac{8}{3}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$a=\frac{8}{3},c=\frac{8}{3}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। समीकरणको दुबैतिर 2 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$6a=2c+8+a$$

दुवै छेउबाट 2c घटाउनुहोस्।

$$6a-2c=8+a$$

दुवै छेउबाट a घटाउनुहोस्।

$$6a-2c-a=8$$

5a प्राप्त गर्नको लागि 6a र -a लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$5a-2c=8$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट c घटाउनुहोस्।

$$a-c=0$$

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$5a-2c=8,a-c=0$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\0\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\0\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\0\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}&\frac{5}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\0\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{5}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\0\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 8\\\frac{1}{3}\times 8\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3}\\\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू a र c लाई ता्नुहोस्।

$$a=\frac{8}{3},c=\frac{8}{3}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। समीकरणको दुबैतिर 2 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$6a=2c+8+a$$

दुवै छेउबाट 2c घटाउनुहोस्।

$$6a-2c=8+a$$

दुवै छेउबाट a घटाउनुहोस्।

$$6a-2c-a=8$$

5a प्राप्त गर्नको लागि 6a र -a लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$5a-2c=8$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट c घटाउनुहोस्।

$$a-c=0$$

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$5a-2c=8,a-c=0$$

5a र a लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 1 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 5 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$5a-2c=8,5a+5\left(-1\right)c=0$$

सरल गर्नुहोस्।

$$5a-2c=8,5a-5c=0$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 5a-2c=8 बाट 5a-5c=0 घटाउनुहोस्।

$$5a-5a-2c+5c=8$$

-5a मा 5a जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 5a र -5a राशी रद्द हुन्छन्।

$$-2c+5c=8$$

5c मा -2c जोड्नुहोस्

$$3c=8$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$c=\frac{8}{3}$$

a-c=0 मा c लाई \frac{8}{3} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले a लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$a-\frac{8}{3}=0$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{8}{3} जोड्नुहोस्।

$$a=\frac{8}{3}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$a=\frac{8}{3},c=\frac{8}{3}$$