समाधान {c}{2x+5y=5}{8x-y=6}

$$\left. \begin{array} { c } { 2 x + 5 y = 5 } \\ { 8 x - y = 6 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

$$y=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$2x+5y=5,8x-y=6$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$2x+5y=5$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 5y घटाउनुहोस्।

$$2x=-5y+5$$

दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+5\right)$$

\frac{1}{2} लाई -5y+5 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{5}{2}$$

\frac{-5y+5}{2} लाई x ले अर्को समीकरण 8x-y=6 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$8\left(-\frac{5}{2}y+\frac{5}{2}\right)-y=6$$

8 लाई \frac{-5y+5}{2} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-20y+20-y=6$$

-y मा -20y जोड्नुहोस्

$$-21y+20=6$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 20 घटाउनुहोस्।

$$-21y=-14$$

दुबैतिर -21 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{2}{3}$$

x=-\frac{5}{2}y+\frac{5}{2} मा y लाई \frac{2}{3} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{5}{2}\times \frac{2}{3}+\frac{5}{2}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी -\frac{5}{2} लाई \frac{2}{3} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=-\frac{5}{3}+\frac{5}{2}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{5}{2} लाई -\frac{5}{3} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=\frac{5}{6}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{5}{6},y=\frac{2}{3}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$2x+5y=5,8x-y=6$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}2&5\\8&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}2&5\\8&-1\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\8&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-5\times 8}&-\frac{5}{2\left(-1\right)-5\times 8}\\-\frac{8}{2\left(-1\right)-5\times 8}&\frac{2}{2\left(-1\right)-5\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{42}&\frac{5}{42}\\\frac{4}{21}&-\frac{1}{21}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{42}\times 5+\frac{5}{42}\times 6\\\frac{4}{21}\times 5-\frac{1}{21}\times 6\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}\\\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{5}{6},y=\frac{2}{3}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$2x+5y=5,8x-y=6$$

2x र 8x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 8 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 2 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$8\times 2x+8\times 5y=8\times 5,2\times 8x+2\left(-1\right)y=2\times 6$$

सरल गर्नुहोस्।

$$16x+40y=40,16x-2y=12$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 16x+40y=40 बाट 16x-2y=12 घटाउनुहोस्।

$$16x-16x+40y+2y=40-12$$

-16x मा 16x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 16x र -16x राशी रद्द हुन्छन्।

$$40y+2y=40-12$$

2y मा 40y जोड्नुहोस्

$$42y=40-12$$

-12 मा 40 जोड्नुहोस्

$$42y=28$$

दुबैतिर 42 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{2}{3}$$

8x-y=6 मा y लाई \frac{2}{3} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$8x-\frac{2}{3}=6$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{2}{3} जोड्नुहोस्।

$$8x=\frac{20}{3}$$

दुबैतिर 8 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{5}{6}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{5}{6},y=\frac{2}{3}$$