समाधान {c}{10a+b=10}{-a+b=2}

$$\left. \begin{array} { c } { 10 a + b = 10 } \\ { - a + b = 2 } \end{array} \right.$$

a, b को लागि हल गर्नुहोस्

$$a=\frac{8}{11}\approx 0.727272727$$

$$b = \frac{30}{11} = 2\frac{8}{11} \approx 2.727272727$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$10a+b=10,-a+b=2$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको a लाई अलग गरी a का लागि हल गर्नुहोस्।

$$10a+b=10$$

समीकरणको दुबैतिरबाट b घटाउनुहोस्।

$$10a=-b+10$$

दुबैतिर 10 ले भाग गर्नुहोस्।

$$a=\frac{1}{10}\left(-b+10\right)$$

\frac{1}{10} लाई -b+10 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$a=-\frac{1}{10}b+1$$

-\frac{b}{10}+1 लाई a ले अर्को समीकरण -a+b=2 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-\left(-\frac{1}{10}b+1\right)+b=2$$

-1 लाई -\frac{b}{10}+1 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$\frac{1}{10}b-1+b=2$$

b मा \frac{b}{10} जोड्नुहोस्

$$\frac{11}{10}b-1=2$$

समीकरणको दुबैतिर 1 जोड्नुहोस्।

$$\frac{11}{10}b=3$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{11}{10} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$b=\frac{30}{11}$$

a=-\frac{1}{10}b+1 मा b लाई \frac{30}{11} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले a लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$a=-\frac{1}{10}\times \frac{30}{11}+1$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी -\frac{1}{10} लाई \frac{30}{11} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$a=-\frac{3}{11}+1$$

-\frac{3}{11} मा 1 जोड्नुहोस्

$$a=\frac{8}{11}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$a=\frac{8}{11},b=\frac{30}{11}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$10a+b=10,-a+b=2$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}10&1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}10&1\\-1&1\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10-\left(-1\right)}&-\frac{1}{10-\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{10-\left(-1\right)}&\frac{10}{10-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&-\frac{1}{11}\\\frac{1}{11}&\frac{10}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 10-\frac{1}{11}\times 2\\\frac{1}{11}\times 10+\frac{10}{11}\times 2\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{11}\\\frac{30}{11}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू a र b लाई ता्नुहोस्।

$$a=\frac{8}{11},b=\frac{30}{11}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$10a+b=10,-a+b=2$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 10a+b=10 बाट -a+b=2 घटाउनुहोस्।

$$10a+a+b-b=10-2$$

-b मा b जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै b र -b राशी रद्द हुन्छन्।

$$10a+a=10-2$$

a मा 10a जोड्नुहोस्

$$11a=10-2$$

-2 मा 10 जोड्नुहोस्

$$11a=8$$

दुबैतिर 11 ले भाग गर्नुहोस्।

$$a=\frac{8}{11}$$

-a+b=2 मा a लाई \frac{8}{11} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले b लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$-\frac{8}{11}+b=2$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{8}{11} जोड्नुहोस्।

$$b=\frac{30}{11}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$a=\frac{8}{11},b=\frac{30}{11}$$