समाधान {c}{-5x+3y=-8}{-x-3y=2}(1,-1)

$$\left. \begin{array} { c } { - 5 x + 3 y = - 8 } \\ { - x - 3 y = 2 } \end{array} \right. ( 1 , - 1 )$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=1$$

$$y=-1$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-5x+3y=-8,-x-3y=2$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$-5x+3y=-8$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 3y घटाउनुहोस्।

$$-5x=-3y-8$$

दुबैतिर -5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{1}{5}\left(-3y-8\right)$$

-\frac{1}{5} लाई -3y-8 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{8}{5}$$

\frac{3y+8}{5} लाई x ले अर्को समीकरण -x-3y=2 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-\left(\frac{3}{5}y+\frac{8}{5}\right)-3y=2$$

-1 लाई \frac{3y+8}{5} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{3}{5}y-\frac{8}{5}-3y=2$$

-3y मा -\frac{3y}{5} जोड्नुहोस्

$$-\frac{18}{5}y-\frac{8}{5}=2$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{8}{5} जोड्नुहोस्।

$$-\frac{18}{5}y=\frac{18}{5}$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{18}{5} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=-1$$

x=\frac{3}{5}y+\frac{8}{5} मा y लाई -1 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=\frac{3}{5}\left(-1\right)+\frac{8}{5}$$

\frac{3}{5} लाई -1 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-3+8}{5}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{8}{5} लाई -\frac{3}{5} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=1$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=1,y=-1$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$-5x+3y=-8,-x-3y=2$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}-5&3\\-1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}-5&3\\-1&-3\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&3\\-1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&3\\-1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&3\\-1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&3\\-1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&3\\-1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-5\left(-3\right)-3\left(-1\right)}&-\frac{3}{-5\left(-3\right)-3\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{-5\left(-3\right)-3\left(-1\right)}&-\frac{5}{-5\left(-3\right)-3\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\\\frac{1}{18}&-\frac{5}{18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}\left(-8\right)-\frac{1}{6}\times 2\\\frac{1}{18}\left(-8\right)-\frac{5}{18}\times 2\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=1,y=-1$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$-5x+3y=-8,-x-3y=2$$

-5x र -x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -1 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -5 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$-\left(-5\right)x-3y=-\left(-8\right),-5\left(-1\right)x-5\left(-3\right)y=-5\times 2$$

सरल गर्नुहोस्।

$$5x-3y=8,5x+15y=-10$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 5x-3y=8 बाट 5x+15y=-10 घटाउनुहोस्।

$$5x-5x-3y-15y=8+10$$

-5x मा 5x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 5x र -5x राशी रद्द हुन्छन्।

$$-3y-15y=8+10$$

-15y मा -3y जोड्नुहोस्

$$-18y=8+10$$

10 मा 8 जोड्नुहोस्

$$-18y=18$$

दुबैतिर -18 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-1$$

-x-3y=2 मा y लाई -1 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$-x-3\left(-1\right)=2$$

-3 लाई -1 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-x+3=2$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 3 घटाउनुहोस्।

$$-x=-1$$

दुबैतिर -1 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=1$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=1,y=-1$$