समाधान {r}{u-30v=-65}{-3u+80v=165}

$$\left\{ \begin{array} { r } { u - 30 v = - 65 } \\ { - 3 u + 80 v = 165 } \end{array} \right.$$

u, v को लागि हल गर्नुहोस्

$$u=25$$

$$v=3$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$u-30v=-65,-3u+80v=165$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको u लाई अलग गरी u का लागि हल गर्नुहोस्।

$$u-30v=-65$$

समीकरणको दुबैतिर 30v जोड्नुहोस्।

$$u=30v-65$$

30v-65 लाई u ले अर्को समीकरण -3u+80v=165 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-3\left(30v-65\right)+80v=165$$

-3 लाई 30v-65 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-90v+195+80v=165$$

80v मा -90v जोड्नुहोस्

$$-10v+195=165$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 195 घटाउनुहोस्।

$$-10v=-30$$

दुबैतिर -10 ले भाग गर्नुहोस्।

$$v=3$$

u=30v-65 मा v लाई 3 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले u लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$u=30\times 3-65$$

30 लाई 3 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$u=90-65$$

90 मा -65 जोड्नुहोस्

$$u=25$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$u=25,v=3$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$u-30v=-65,-3u+80v=165$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{80}{80-\left(-30\left(-3\right)\right)}&-\frac{-30}{80-\left(-30\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{80-\left(-30\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{80-\left(-30\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8&-3\\-\frac{3}{10}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\left(-65\right)-3\times 165\\-\frac{3}{10}\left(-65\right)-\frac{1}{10}\times 165\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\3\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू u र v लाई ता्नुहोस्।

$$u=25,v=3$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$u-30v=-65,-3u+80v=165$$

u र -3u लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -3 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 1 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$-3u-3\left(-30\right)v=-3\left(-65\right),-3u+80v=165$$

सरल गर्नुहोस्।

$$-3u+90v=195,-3u+80v=165$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर -3u+90v=195 बाट -3u+80v=165 घटाउनुहोस्।

$$-3u+3u+90v-80v=195-165$$

3u मा -3u जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै -3u र 3u राशी रद्द हुन्छन्।

$$90v-80v=195-165$$

-80v मा 90v जोड्नुहोस्

$$10v=195-165$$

-165 मा 195 जोड्नुहोस्

$$10v=30$$

दुबैतिर 10 ले भाग गर्नुहोस्।

$$v=3$$

-3u+80v=165 मा v लाई 3 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले u लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$-3u+80\times 3=165$$

80 लाई 3 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-3u+240=165$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 240 घटाउनुहोस्।

$$-3u=-75$$

दुबैतिर -3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$u=25$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$u=25,v=3$$