समाधान {r}{5p-q=7}{-2p+3q=5}

$$\left\{ \begin{array} { r } { 5 p - q = 7 } \\ { - 2 p + 3 q = 5 } \end{array} \right.$$

p, q को लागि हल गर्नुहोस्

$$p=2$$

$$q=3$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$5p-q=7,-2p+3q=5$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको p लाई अलग गरी p का लागि हल गर्नुहोस्।

$$5p-q=7$$

समीकरणको दुबैतिर q जोड्नुहोस्।

$$5p=q+7$$

दुबैतिर 5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$p=\frac{1}{5}\left(q+7\right)$$

\frac{1}{5} लाई q+7 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$p=\frac{1}{5}q+\frac{7}{5}$$

\frac{7+q}{5} लाई p ले अर्को समीकरण -2p+3q=5 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-2\left(\frac{1}{5}q+\frac{7}{5}\right)+3q=5$$

-2 लाई \frac{7+q}{5} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{2}{5}q-\frac{14}{5}+3q=5$$

3q मा -\frac{2q}{5} जोड्नुहोस्

$$\frac{13}{5}q-\frac{14}{5}=5$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{14}{5} जोड्नुहोस्।

$$\frac{13}{5}q=\frac{39}{5}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{13}{5} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$q=3$$

p=\frac{1}{5}q+\frac{7}{5} मा q लाई 3 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले p लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$p=\frac{1}{5}\times 3+\frac{7}{5}$$

\frac{1}{5} लाई 3 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$p=\frac{3+7}{5}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{7}{5} लाई \frac{3}{5} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$p=2$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$p=2,q=3$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$5p-q=7,-2p+3q=5$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}&-\frac{-1}{5\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{5\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}&\frac{5}{5\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}&\frac{1}{13}\\\frac{2}{13}&\frac{5}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}\times 7+\frac{1}{13}\times 5\\\frac{2}{13}\times 7+\frac{5}{13}\times 5\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू p र q लाई ता्नुहोस्।

$$p=2,q=3$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$5p-q=7,-2p+3q=5$$

5p र -2p लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -2 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 5 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$-2\times 5p-2\left(-1\right)q=-2\times 7,5\left(-2\right)p+5\times 3q=5\times 5$$

सरल गर्नुहोस्।

$$-10p+2q=-14,-10p+15q=25$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर -10p+2q=-14 बाट -10p+15q=25 घटाउनुहोस्।

$$-10p+10p+2q-15q=-14-25$$

10p मा -10p जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै -10p र 10p राशी रद्द हुन्छन्।

$$2q-15q=-14-25$$

-15q मा 2q जोड्नुहोस्

$$-13q=-14-25$$

-25 मा -14 जोड्नुहोस्

$$-13q=-39$$

दुबैतिर -13 ले भाग गर्नुहोस्।

$$q=3$$

-2p+3q=5 मा q लाई 3 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले p लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$-2p+3\times 3=5$$

3 लाई 3 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-2p+9=5$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 9 घटाउनुहोस्।

$$-2p=-4$$

दुबैतिर -2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$p=2$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$p=2,q=3$$