समाधान {r}{4x+3y=5}{-x+2y=7}

$$\left\{ \begin{array} { r } { 4 x + 3 y = 5 } \\ { - x + 2 y = 7 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=-1$$

$$y=3$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$4x+3y=5,-x+2y=7$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$4x+3y=5$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 3y घटाउनुहोस्।

$$4x=-3y+5$$

दुबैतिर 4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+5\right)$$

\frac{1}{4} लाई -3y+5 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{5}{4}$$

\frac{-3y+5}{4} लाई x ले अर्को समीकरण -x+2y=7 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-\left(-\frac{3}{4}y+\frac{5}{4}\right)+2y=7$$

-1 लाई \frac{-3y+5}{4} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$\frac{3}{4}y-\frac{5}{4}+2y=7$$

2y मा \frac{3y}{4} जोड्नुहोस्

$$\frac{11}{4}y-\frac{5}{4}=7$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{5}{4} जोड्नुहोस्।

$$\frac{11}{4}y=\frac{33}{4}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{11}{4} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=3$$

x=-\frac{3}{4}y+\frac{5}{4} मा y लाई 3 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{3}{4}\times 3+\frac{5}{4}$$

-\frac{3}{4} लाई 3 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-9+5}{4}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{5}{4} लाई -\frac{9}{4} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=-1$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-1,y=3$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$4x+3y=5,-x+2y=7$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}4&3\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}4&3\\-1&2\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-3\left(-1\right)}&-\frac{3}{4\times 2-3\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{4\times 2-3\left(-1\right)}&\frac{4}{4\times 2-3\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&-\frac{3}{11}\\\frac{1}{11}&\frac{4}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 5-\frac{3}{11}\times 7\\\frac{1}{11}\times 5+\frac{4}{11}\times 7\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=-1,y=3$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$4x+3y=5,-x+2y=7$$

4x र -x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -1 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 4 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$-4x-3y=-5,4\left(-1\right)x+4\times 2y=4\times 7$$

सरल गर्नुहोस्।

$$-4x-3y=-5,-4x+8y=28$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर -4x-3y=-5 बाट -4x+8y=28 घटाउनुहोस्।

$$-4x+4x-3y-8y=-5-28$$

4x मा -4x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै -4x र 4x राशी रद्द हुन्छन्।

$$-3y-8y=-5-28$$

-8y मा -3y जोड्नुहोस्

$$-11y=-5-28$$

-28 मा -5 जोड्नुहोस्

$$-11y=-33$$

दुबैतिर -11 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=3$$

-x+2y=7 मा y लाई 3 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$-x+2\times 3=7$$

2 लाई 3 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-x+6=7$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 6 घटाउनुहोस्।

$$-x=1$$

दुबैतिर -1 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-1$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-1,y=3$$