समाधान {r}{2x+7y=10}{8x+y=13}

$$\left\{ \begin{array} { r } { 2 x + 7 y = 10 } \\ { 8 x + y = 13 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$y=1$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$2x+7y=10,8x+y=13$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$2x+7y=10$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 7y घटाउनुहोस्।

$$2x=-7y+10$$

दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{2}\left(-7y+10\right)$$

\frac{1}{2} लाई -7y+10 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{7}{2}y+5$$

-\frac{7y}{2}+5 लाई x ले अर्को समीकरण 8x+y=13 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$8\left(-\frac{7}{2}y+5\right)+y=13$$

8 लाई -\frac{7y}{2}+5 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-28y+40+y=13$$

y मा -28y जोड्नुहोस्

$$-27y+40=13$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 40 घटाउनुहोस्।

$$-27y=-27$$

दुबैतिर -27 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=1$$

x=-\frac{7}{2}y+5 मा y लाई 1 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{7}{2}+5$$

-\frac{7}{2} मा 5 जोड्नुहोस्

$$x=\frac{3}{2}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{3}{2},y=1$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$2x+7y=10,8x+y=13$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}2&7\\8&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\13\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}2&7\\8&1\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\8&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&7\\8&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\8&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\13\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\8&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\13\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\8&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\13\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-7\times 8}&-\frac{7}{2-7\times 8}\\-\frac{8}{2-7\times 8}&\frac{2}{2-7\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\13\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{54}&\frac{7}{54}\\\frac{4}{27}&-\frac{1}{27}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\13\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{54}\times 10+\frac{7}{54}\times 13\\\frac{4}{27}\times 10-\frac{1}{27}\times 13\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\1\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{3}{2},y=1$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$2x+7y=10,8x+y=13$$

2x र 8x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 8 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 2 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$8\times 2x+8\times 7y=8\times 10,2\times 8x+2y=2\times 13$$

सरल गर्नुहोस्।

$$16x+56y=80,16x+2y=26$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 16x+56y=80 बाट 16x+2y=26 घटाउनुहोस्।

$$16x-16x+56y-2y=80-26$$

-16x मा 16x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 16x र -16x राशी रद्द हुन्छन्।

$$56y-2y=80-26$$

-2y मा 56y जोड्नुहोस्

$$54y=80-26$$

-26 मा 80 जोड्नुहोस्

$$54y=54$$

दुबैतिर 54 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=1$$

8x+y=13 मा y लाई 1 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$8x+1=13$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 1 घटाउनुहोस्।

$$8x=12$$

दुबैतिर 8 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{3}{2}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{3}{2},y=1$$