समाधान {l}{y-z=3}{2z+2y=56}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y - z = 3 } \\ { 2 z + 2 y = 56 } \end{array} \right.$$

y, z को लागि हल गर्नुहोस्

$$y = \frac{31}{2} = 15\frac{1}{2} = 15.5$$

$$z = \frac{25}{2} = 12\frac{1}{2} = 12.5$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$y-z=3,2y+2z=56$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको y लाई अलग गरी y का लागि हल गर्नुहोस्।

$$y-z=3$$

समीकरणको दुबैतिर z जोड्नुहोस्।

$$y=z+3$$

z+3 लाई y ले अर्को समीकरण 2y+2z=56 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$2\left(z+3\right)+2z=56$$

2 लाई z+3 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$2z+6+2z=56$$

2z मा 2z जोड्नुहोस्

$$4z+6=56$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 6 घटाउनुहोस्।

$$4z=50$$

दुबैतिर 4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$z=\frac{25}{2}$$

y=z+3 मा z लाई \frac{25}{2} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले y लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$y=\frac{25}{2}+3$$

\frac{25}{2} मा 3 जोड्नुहोस्

$$y=\frac{31}{2}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$y=\frac{31}{2},z=\frac{25}{2}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$y-z=3,2y+2z=56$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\56\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\56\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\56\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\56\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{2-\left(-2\right)}&\frac{1}{2-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\56\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\56\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 3+\frac{1}{4}\times 56\\-\frac{1}{2}\times 3+\frac{1}{4}\times 56\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{31}{2}\\\frac{25}{2}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू y र z लाई ता्नुहोस्।

$$y=\frac{31}{2},z=\frac{25}{2}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$y-z=3,2y+2z=56$$

y र 2y लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 2 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 1 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$2y+2\left(-1\right)z=2\times 3,2y+2z=56$$

सरल गर्नुहोस्।

$$2y-2z=6,2y+2z=56$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 2y-2z=6 बाट 2y+2z=56 घटाउनुहोस्।

$$2y-2y-2z-2z=6-56$$

-2y मा 2y जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 2y र -2y राशी रद्द हुन्छन्।

$$-2z-2z=6-56$$

-2z मा -2z जोड्नुहोस्

$$-4z=6-56$$

-56 मा 6 जोड्नुहोस्

$$-4z=-50$$

दुबैतिर -4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$z=\frac{25}{2}$$

2y+2z=56 मा z लाई \frac{25}{2} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले y लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$2y+2\times \frac{25}{2}=56$$

2 लाई \frac{25}{2} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$2y+25=56$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 25 घटाउनुहोस्।

$$2y=31$$

दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{31}{2}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$y=\frac{31}{2},z=\frac{25}{2}$$