समाधान {l}{y=4x+5}{4x-3y=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = 4 x + 5 } \\ { 4 x - 3 y = 3 } \end{array} \right.$$

y, x को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = -\frac{9}{4} = -2\frac{1}{4} = -2.25$$

$$y=-4$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 4x घटाउनुहोस्।

$$y-4x=5$$

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$y-4x=5,-3y+4x=3$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको y लाई अलग गरी y का लागि हल गर्नुहोस्।

$$y-4x=5$$

समीकरणको दुबैतिर 4x जोड्नुहोस्।

$$y=4x+5$$

4x+5 लाई y ले अर्को समीकरण -3y+4x=3 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-3\left(4x+5\right)+4x=3$$

-3 लाई 4x+5 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-12x-15+4x=3$$

4x मा -12x जोड्नुहोस्

$$-8x-15=3$$

समीकरणको दुबैतिर 15 जोड्नुहोस्।

$$-8x=18$$

दुबैतिर -8 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{9}{4}$$

y=4x+5 मा x लाई -\frac{9}{4} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले y लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$y=4\left(-\frac{9}{4}\right)+5$$

4 लाई -\frac{9}{4} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$y=-9+5$$

-9 मा 5 जोड्नुहोस्

$$y=-4$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$y=-4,x=-\frac{9}{4}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 4x घटाउनुहोस्।

$$y-4x=5$$

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$y-4x=5,-3y+4x=3$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-\left(-4\left(-3\right)\right)}&-\frac{-4}{4-\left(-4\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{4-\left(-4\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{4-\left(-4\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 5-\frac{1}{2}\times 3\\-\frac{3}{8}\times 5-\frac{1}{8}\times 3\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-\frac{9}{4}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू y र x लाई ता्नुहोस्।

$$y=-4,x=-\frac{9}{4}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 4x घटाउनुहोस्।

$$y-4x=5$$

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$y-4x=5,-3y+4x=3$$

y र -3y लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -3 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 1 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$-3y-3\left(-4\right)x=-3\times 5,-3y+4x=3$$

सरल गर्नुहोस्।

$$-3y+12x=-15,-3y+4x=3$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर -3y+12x=-15 बाट -3y+4x=3 घटाउनुहोस्।

$$-3y+3y+12x-4x=-15-3$$

3y मा -3y जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै -3y र 3y राशी रद्द हुन्छन्।

$$12x-4x=-15-3$$

-4x मा 12x जोड्नुहोस्

$$8x=-15-3$$

-3 मा -15 जोड्नुहोस्

$$8x=-18$$

दुबैतिर 8 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{9}{4}$$

-3y+4x=3 मा x लाई -\frac{9}{4} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले y लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$-3y+4\left(-\frac{9}{4}\right)=3$$

4 लाई -\frac{9}{4} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-3y-9=3$$

समीकरणको दुबैतिर 9 जोड्नुहोस्।

$$-3y=12$$

दुबैतिर -3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-4$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$y=-4,x=-\frac{9}{4}$$