समाधान {l}{y=-2x+1}{y=4x-5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = - 2 x + 1 } \\ { y = 4 x - 5 } \end{array} \right.$$

y, x को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=1$$

$$y=-1$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुबै छेउहरूमा 2x थप्नुहोस्।

$$y+2x=1$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 4x घटाउनुहोस्।

$$y-4x=-5$$

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$y+2x=1,y-4x=-5$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको y लाई अलग गरी y का लागि हल गर्नुहोस्।

$$y+2x=1$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 2x घटाउनुहोस्।

$$y=-2x+1$$

-2x+1 लाई y ले अर्को समीकरण y-4x=-5 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-2x+1-4x=-5$$

-4x मा -2x जोड्नुहोस्

$$-6x+1=-5$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 1 घटाउनुहोस्।

$$-6x=-6$$

दुबैतिर -6 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=1$$

y=-2x+1 मा x लाई 1 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले y लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$y=-2+1$$

-2 मा 1 जोड्नुहोस्

$$y=-1$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$y=-1,x=1$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुबै छेउहरूमा 2x थप्नुहोस्।

$$y+2x=1$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 4x घटाउनुहोस्।

$$y-4x=-5$$

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$y+2x=1,y-4x=-5$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}1&2\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}1&2\\1&-4\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-2}&-\frac{2}{-4-2}\\-\frac{1}{-4-2}&\frac{1}{-4-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\left(-5\right)\\\frac{1}{6}-\frac{1}{6}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू y र x लाई ता्नुहोस्।

$$y=-1,x=1$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुबै छेउहरूमा 2x थप्नुहोस्।

$$y+2x=1$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 4x घटाउनुहोस्।

$$y-4x=-5$$

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$y+2x=1,y-4x=-5$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर y+2x=1 बाट y-4x=-5 घटाउनुहोस्।

$$y-y+2x+4x=1+5$$

-y मा y जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै y र -y राशी रद्द हुन्छन्।

$$2x+4x=1+5$$

4x मा 2x जोड्नुहोस्

$$6x=1+5$$

5 मा 1 जोड्नुहोस्

$$6x=6$$

दुबैतिर 6 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=1$$

y-4x=-5 मा x लाई 1 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले y लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$y-4=-5$$

समीकरणको दुबैतिर 4 जोड्नुहोस्।

$$y=-1$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$y=-1,x=1$$