समाधान {l}{y=-4/6x-5}{8x+5y=-45}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = - \frac { 4 } { 6 } x - 5 } \\ { 8 x + 5 y = - 45 } \end{array} \right.$$

y, x को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = -\frac{30}{7} = -4\frac{2}{7} \approx -4.285714286$$

$$y = -\frac{15}{7} = -2\frac{1}{7} \approx -2.142857143$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। 2 लाई झिकेर र रद्द गरेर, भिनन \frac{4}{6} लाई तल्लो टर्ममा घटाउनुहोस्।

$$y=-\frac{2}{3}x-5$$

-\frac{2x}{3}-5 लाई y ले अर्को समीकरण 5y+8x=-45 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$5\left(-\frac{2}{3}x-5\right)+8x=-45$$

5 लाई -\frac{2x}{3}-5 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{10}{3}x-25+8x=-45$$

8x मा -\frac{10x}{3} जोड्नुहोस्

$$\frac{14}{3}x-25=-45$$

समीकरणको दुबैतिर 25 जोड्नुहोस्।

$$\frac{14}{3}x=-20$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{14}{3} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$x=-\frac{30}{7}$$

y=-\frac{2}{3}x-5 मा x लाई -\frac{30}{7} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले y लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$y=-\frac{2}{3}\left(-\frac{30}{7}\right)-5$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी -\frac{2}{3} लाई -\frac{30}{7} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$y=\frac{20}{7}-5$$

\frac{20}{7} मा -5 जोड्नुहोस्

$$y=-\frac{15}{7}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$y=-\frac{15}{7},x=-\frac{30}{7}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। 2 लाई झिकेर र रद्द गरेर, भिनन \frac{4}{6} लाई तल्लो टर्ममा घटाउनुहोस्।

$$y=-\frac{2}{3}x-5$$

दुबै छेउहरूमा \frac{2}{3}x थप्नुहोस्।

$$y+\frac{2}{3}x=-5$$

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$y+\frac{2}{3}x=-5,5y+8x=-45$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{8-\frac{2}{3}\times 5}&-\frac{\frac{2}{3}}{8-\frac{2}{3}\times 5}\\-\frac{5}{8-\frac{2}{3}\times 5}&\frac{1}{8-\frac{2}{3}\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{7}&-\frac{1}{7}\\-\frac{15}{14}&\frac{3}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{7}\left(-5\right)-\frac{1}{7}\left(-45\right)\\-\frac{15}{14}\left(-5\right)+\frac{3}{14}\left(-45\right)\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{7}\\-\frac{30}{7}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू y र x लाई ता्नुहोस्।

$$y=-\frac{15}{7},x=-\frac{30}{7}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। 2 लाई झिकेर र रद्द गरेर, भिनन \frac{4}{6} लाई तल्लो टर्ममा घटाउनुहोस्।

$$y=-\frac{2}{3}x-5$$

दुबै छेउहरूमा \frac{2}{3}x थप्नुहोस्।

$$y+\frac{2}{3}x=-5$$

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$y+\frac{2}{3}x=-5,5y+8x=-45$$

y र 5y लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 5 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 1 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$5y+5\times \frac{2}{3}x=5\left(-5\right),5y+8x=-45$$

सरल गर्नुहोस्।

$$5y+\frac{10}{3}x=-25,5y+8x=-45$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 5y+\frac{10}{3}x=-25 बाट 5y+8x=-45 घटाउनुहोस्।

$$5y-5y+\frac{10}{3}x-8x=-25+45$$

-5y मा 5y जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 5y र -5y राशी रद्द हुन्छन्।

$$\frac{10}{3}x-8x=-25+45$$

-8x मा \frac{10x}{3} जोड्नुहोस्

$$-\frac{14}{3}x=-25+45$$

45 मा -25 जोड्नुहोस्

$$-\frac{14}{3}x=20$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{14}{3} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$x=-\frac{30}{7}$$

5y+8x=-45 मा x लाई -\frac{30}{7} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले y लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$5y+8\left(-\frac{30}{7}\right)=-45$$

8 लाई -\frac{30}{7} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$5y-\frac{240}{7}=-45$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{240}{7} जोड्नुहोस्।

$$5y=-\frac{75}{7}$$

दुबैतिर 5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{15}{7}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$y=-\frac{15}{7},x=-\frac{30}{7}$$