समाधान {l}{y=-3/4x+3/4}{y=4/3x+11/3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = - \frac { 3 } { 4 } x + \frac { 3 } { 4 } } \\ { y = \frac { 4 } { 3 } x + \frac { 11 } { 3 } } \end{array} \right.$$

y, x को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = -\frac{7}{5} = -1\frac{2}{5} = -1.4$$

$$y = \frac{9}{5} = 1\frac{4}{5} = 1.8$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुबै छेउहरूमा \frac{3}{4}x थप्नुहोस्।

$$y+\frac{3}{4}x=\frac{3}{4}$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट \frac{4}{3}x घटाउनुहोस्।

$$y-\frac{4}{3}x=\frac{11}{3}$$

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$y+\frac{3}{4}x=\frac{3}{4},y-\frac{4}{3}x=\frac{11}{3}$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको y लाई अलग गरी y का लागि हल गर्नुहोस्।

$$y+\frac{3}{4}x=\frac{3}{4}$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{3x}{4} घटाउनुहोस्।

$$y=-\frac{3}{4}x+\frac{3}{4}$$

\frac{-3x+3}{4} लाई y ले अर्को समीकरण y-\frac{4}{3}x=\frac{11}{3} मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-\frac{3}{4}x+\frac{3}{4}-\frac{4}{3}x=\frac{11}{3}$$

-\frac{4x}{3} मा -\frac{3x}{4} जोड्नुहोस्

$$-\frac{25}{12}x+\frac{3}{4}=\frac{11}{3}$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{3}{4} घटाउनुहोस्।

$$-\frac{25}{12}x=\frac{35}{12}$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{25}{12} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$x=-\frac{7}{5}$$

y=-\frac{3}{4}x+\frac{3}{4} मा x लाई -\frac{7}{5} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले y लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$y=-\frac{3}{4}\left(-\frac{7}{5}\right)+\frac{3}{4}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी -\frac{3}{4} लाई -\frac{7}{5} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$y=\frac{21}{20}+\frac{3}{4}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{3}{4} लाई \frac{21}{20} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$y=\frac{9}{5}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$y=\frac{9}{5},x=-\frac{7}{5}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुबै छेउहरूमा \frac{3}{4}x थप्नुहोस्।

$$y+\frac{3}{4}x=\frac{3}{4}$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट \frac{4}{3}x घटाउनुहोस्।

$$y-\frac{4}{3}x=\frac{11}{3}$$

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$y+\frac{3}{4}x=\frac{3}{4},y-\frac{4}{3}x=\frac{11}{3}$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{4}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\\frac{11}{3}\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}1&\frac{3}{4}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{4}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{4}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{4}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\\frac{11}{3}\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{4}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\\frac{11}{3}\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{4}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\\frac{11}{3}\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{4}{3}}{-\frac{4}{3}-\frac{3}{4}}&-\frac{\frac{3}{4}}{-\frac{4}{3}-\frac{3}{4}}\\-\frac{1}{-\frac{4}{3}-\frac{3}{4}}&\frac{1}{-\frac{4}{3}-\frac{3}{4}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\\frac{11}{3}\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{25}&\frac{9}{25}\\\frac{12}{25}&-\frac{12}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\\frac{11}{3}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{25}\times \frac{3}{4}+\frac{9}{25}\times \frac{11}{3}\\\frac{12}{25}\times \frac{3}{4}-\frac{12}{25}\times \frac{11}{3}\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{5}\\-\frac{7}{5}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू y र x लाई ता्नुहोस्।

$$y=\frac{9}{5},x=-\frac{7}{5}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुबै छेउहरूमा \frac{3}{4}x थप्नुहोस्।

$$y+\frac{3}{4}x=\frac{3}{4}$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट \frac{4}{3}x घटाउनुहोस्।

$$y-\frac{4}{3}x=\frac{11}{3}$$

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$y+\frac{3}{4}x=\frac{3}{4},y-\frac{4}{3}x=\frac{11}{3}$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर y+\frac{3}{4}x=\frac{3}{4} बाट y-\frac{4}{3}x=\frac{11}{3} घटाउनुहोस्।

$$y-y+\frac{3}{4}x+\frac{4}{3}x=\frac{3}{4}-\frac{11}{3}$$

-y मा y जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै y र -y राशी रद्द हुन्छन्।

$$\frac{3}{4}x+\frac{4}{3}x=\frac{3}{4}-\frac{11}{3}$$

\frac{4x}{3} मा \frac{3x}{4} जोड्नुहोस्

$$\frac{25}{12}x=\frac{3}{4}-\frac{11}{3}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{3}{4} लाई -\frac{11}{3} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$\frac{25}{12}x=-\frac{35}{12}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{25}{12} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$x=-\frac{7}{5}$$

y-\frac{4}{3}x=\frac{11}{3} मा x लाई -\frac{7}{5} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले y लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$y-\frac{4}{3}\left(-\frac{7}{5}\right)=\frac{11}{3}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी -\frac{4}{3} लाई -\frac{7}{5} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$y+\frac{28}{15}=\frac{11}{3}$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{28}{15} घटाउनुहोस्।

$$y=\frac{9}{5}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$y=\frac{9}{5},x=-\frac{7}{5}$$