समाधान {l}{x-y=10}{2x+(2y+1/2)=200}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - y = 10 } \\ { 2 x + ( 2 y + \frac { 1 } { 2 } ) = 200 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = \frac{439}{8} = 54\frac{7}{8} = 54.875$$

$$y = \frac{359}{8} = 44\frac{7}{8} = 44.875$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$x-y=10,2x+2y+\frac{1}{2}=200$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$x-y=10$$

समीकरणको दुबैतिर y जोड्नुहोस्।

$$x=y+10$$

y+10 लाई x ले अर्को समीकरण 2x+2y+\frac{1}{2}=200 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$2\left(y+10\right)+2y+\frac{1}{2}=200$$

2 लाई y+10 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$2y+20+2y+\frac{1}{2}=200$$

2y मा 2y जोड्नुहोस्

$$4y+20+\frac{1}{2}=200$$

\frac{1}{2} मा 20 जोड्नुहोस्

$$4y+\frac{41}{2}=200$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{41}{2} घटाउनुहोस्।

$$4y=\frac{359}{2}$$

दुबैतिर 4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{359}{8}$$

x=y+10 मा y लाई \frac{359}{8} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=\frac{359}{8}+10$$

\frac{359}{8} मा 10 जोड्नुहोस्

$$x=\frac{439}{8}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{439}{8},y=\frac{359}{8}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$x-y=10,2x+2y+\frac{1}{2}=200$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{2-\left(-2\right)}&\frac{1}{2-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 10+\frac{1}{4}\times \frac{399}{2}\\-\frac{1}{2}\times 10+\frac{1}{4}\times \frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{439}{8}\\\frac{359}{8}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{439}{8},y=\frac{359}{8}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$x-y=10,2x+2y+\frac{1}{2}=200$$

x र 2x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 2 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 1 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$2x+2\left(-1\right)y=2\times 10,2x+2y+\frac{1}{2}=200$$

सरल गर्नुहोस्।

$$2x-2y=20,2x+2y+\frac{1}{2}=200$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 2x-2y=20 बाट 2x+2y+\frac{1}{2}=200 घटाउनुहोस्।

$$2x-2x-2y-2y-\frac{1}{2}=20-200$$

-2x मा 2x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 2x र -2x राशी रद्द हुन्छन्।

$$-2y-2y-\frac{1}{2}=20-200$$

-2y मा -2y जोड्नुहोस्

$$-4y-\frac{1}{2}=20-200$$

-200 मा 20 जोड्नुहोस्

$$-4y-\frac{1}{2}=-180$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{1}{2} जोड्नुहोस्।

$$-4y=-\frac{359}{2}$$

दुबैतिर -4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{359}{8}$$

2x+2y+\frac{1}{2}=200 मा y लाई \frac{359}{8} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$2x+2\times \frac{359}{8}+\frac{1}{2}=200$$

2 लाई \frac{359}{8} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$2x+\frac{359}{4}+\frac{1}{2}=200$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{359}{4} लाई \frac{1}{2} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$2x+\frac{361}{4}=200$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{361}{4} घटाउनुहोस्।

$$2x=\frac{439}{4}$$

दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{439}{8}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{439}{8},y=\frac{359}{8}$$