समाधान {l}{x-y=1/4}{3x^2-6=y^2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - y = \frac { 1 } { 4 } } \\ { 3 x ^ { 2 } - 6 = y ^ { 2 } } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=\frac{-\sqrt{195}-1}{8}\approx -1.870530005\text{, }y=\frac{-\sqrt{195}-3}{8}\approx -2.120530005$$

$$x=\frac{\sqrt{195}-1}{8}\approx 1.620530005\text{, }y=\frac{\sqrt{195}-3}{8}\approx 1.370530005$$

प्रतिस्थापन र वर्ग सूत्र प्रयोग गर्ने चरणहरू

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट y^{2} घटाउनुहोस्।

$$3x^{2}-6-y^{2}=0$$

दुबै छेउहरूमा 6 थप्नुहोस्। शून्यमा कुनै पनि अंक जोड्दा जोडफल सोही अंक बराबर नै हुन्छ।

$$3x^{2}-y^{2}=6$$

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$x-y=\frac{1}{4},-y^{2}+3x^{2}=6$$

बराबर चिन्हको बायाँतिर हरेको x लाई अलग गरी x-y=\frac{1}{4} लाई x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$x-y=\frac{1}{4}$$

समीकरणको दुबैतिरबाट -y घटाउनुहोस्।

$$x=y+\frac{1}{4}$$

y+\frac{1}{4} लाई x ले अर्को समीकरण -y^{2}+3x^{2}=6 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-y^{2}+3\left(y+\frac{1}{4}\right)^{2}=6$$

y+\frac{1}{4} वर्ग गर्नुहोस्।

$$-y^{2}+3\left(y^{2}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{16}\right)=6$$

3 लाई y^{2}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{16} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-y^{2}+3y^{2}+\frac{3}{2}y+\frac{3}{16}=6$$

3y^{2} मा -y^{2} जोड्नुहोस्

$$2y^{2}+\frac{3}{2}y+\frac{3}{16}=6$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 6 घटाउनुहोस्।

$$2y^{2}+\frac{3}{2}y-\frac{93}{16}=0$$

यो समीकरण मानक ढाँचामा छ: ax^{2}+bx+c=0। वर्ग सूत्र \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} मा a लाई -1+3\times 1^{2} ले, b लाई 3\times \frac{1}{4}\times 1\times 2 ले र c लाई -\frac{93}{16} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^{2}-4\times 2\left(-\frac{93}{16}\right)}}{2\times 2}$$

3\times \frac{1}{4}\times 1\times 2 वर्ग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\sqrt{\frac{9}{4}-4\times 2\left(-\frac{93}{16}\right)}}{2\times 2}$$

-4 लाई -1+3\times 1^{2} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\sqrt{\frac{9}{4}-8\left(-\frac{93}{16}\right)}}{2\times 2}$$

-8 लाई -\frac{93}{16} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{93}{2}}}{2\times 2}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{9}{4} लाई \frac{93}{2} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\sqrt{\frac{195}{4}}}{2\times 2}$$

\frac{195}{4} को वर्गमूल निकाल्नुहोस्।

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\frac{\sqrt{195}}{2}}{2\times 2}$$

2 लाई -1+3\times 1^{2} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\frac{\sqrt{195}}{2}}{4}$$

अब ± प्लस मानेर y=\frac{-\frac{3}{2}±\frac{\sqrt{195}}{2}}{4} समीकरणलाई हल गर्नुहोस्। \frac{\sqrt{195}}{2} मा -\frac{3}{2} जोड्नुहोस्

$$y=\frac{\sqrt{195}-3}{2\times 4}$$

\frac{-3+\sqrt{195}}{2} लाई 4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{\sqrt{195}-3}{8}$$

अब ± माइनस मानेर y=\frac{-\frac{3}{2}±\frac{\sqrt{195}}{2}}{4} समीकरणलाई हल गर्नुहोस्। -\frac{3}{2} बाट \frac{\sqrt{195}}{2} घटाउनुहोस्।

$$y=\frac{-\sqrt{195}-3}{2\times 4}$$

\frac{-3-\sqrt{195}}{2} लाई 4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{-\sqrt{195}-3}{8}$$

y: \frac{-3+\sqrt{195}}{8} र \frac{-3-\sqrt{195}}{8} का दुईवटा समाधानहरु छन्। दुबै समीकरणहरूलाई समाधान गर्ने समीकरण x को लागि सँगैको समाधान पत्ता लगाउन समीकरण x=y+\frac{1}{4} मा \frac{-3+\sqrt{195}}{8} लाई y ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{\sqrt{195}-3}{8}+\frac{1}{4}$$

अब समीकरण x=y+\frac{1}{4} मा y लाई \frac{-3-\sqrt{195}}{8} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस् र दुबै समीकरणहरूमा मिल्ने x को समाधान निकाल्न हल गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-\sqrt{195}-3}{8}+\frac{1}{4}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{\sqrt{195}-3}{8}+\frac{1}{4},y=\frac{\sqrt{195}-3}{8}\text{ or }x=\frac{-\sqrt{195}-3}{8}+\frac{1}{4},y=\frac{-\sqrt{195}-3}{8}$$