समाधान {l}{x-3y=4}{5x+3y=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - 3 y = 4 } \\ { 5 x + 3 y = - 1 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

$$y = -\frac{7}{6} = -1\frac{1}{6} \approx -1.166666667$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$x-3y=4,5x+3y=-1$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$x-3y=4$$

समीकरणको दुबैतिर 3y जोड्नुहोस्।

$$x=3y+4$$

3y+4 लाई x ले अर्को समीकरण 5x+3y=-1 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$5\left(3y+4\right)+3y=-1$$

5 लाई 3y+4 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$15y+20+3y=-1$$

3y मा 15y जोड्नुहोस्

$$18y+20=-1$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 20 घटाउनुहोस्।

$$18y=-21$$

दुबैतिर 18 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{7}{6}$$

x=3y+4 मा y लाई -\frac{7}{6} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=3\left(-\frac{7}{6}\right)+4$$

3 लाई -\frac{7}{6} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{7}{2}+4$$

-\frac{7}{2} मा 4 जोड्नुहोस्

$$x=\frac{1}{2}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{1}{2},y=-\frac{7}{6}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$x-3y=4,5x+3y=-1$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}1&-3\\5&3\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-3\times 5\right)}&-\frac{-3}{3-\left(-3\times 5\right)}\\-\frac{5}{3-\left(-3\times 5\right)}&\frac{1}{3-\left(-3\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\-\frac{5}{18}&\frac{1}{18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 4+\frac{1}{6}\left(-1\right)\\-\frac{5}{18}\times 4+\frac{1}{18}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\-\frac{7}{6}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{2},y=-\frac{7}{6}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$x-3y=4,5x+3y=-1$$

x र 5x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 5 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 1 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$5x+5\left(-3\right)y=5\times 4,5x+3y=-1$$

सरल गर्नुहोस्।

$$5x-15y=20,5x+3y=-1$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 5x-15y=20 बाट 5x+3y=-1 घटाउनुहोस्।

$$5x-5x-15y-3y=20+1$$

-5x मा 5x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 5x र -5x राशी रद्द हुन्छन्।

$$-15y-3y=20+1$$

-3y मा -15y जोड्नुहोस्

$$-18y=20+1$$

1 मा 20 जोड्नुहोस्

$$-18y=21$$

दुबैतिर -18 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{7}{6}$$

5x+3y=-1 मा y लाई -\frac{7}{6} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$5x+3\left(-\frac{7}{6}\right)=-1$$

3 लाई -\frac{7}{6} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$5x-\frac{7}{2}=-1$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{7}{2} जोड्नुहोस्।

$$5x=\frac{5}{2}$$

दुबैतिर 5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{2}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{1}{2},y=-\frac{7}{6}$$