समाधान {l}{x-2y=-6}{6x+3y=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - 2 y = - 6 } \\ { 6 x + 3 y = 2 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=-\frac{14}{15}\approx -0.933333333$$

$$y = \frac{38}{15} = 2\frac{8}{15} \approx 2.533333333$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$x-2y=-6,6x+3y=2$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$x-2y=-6$$

समीकरणको दुबैतिर 2y जोड्नुहोस्।

$$x=2y-6$$

-6+2y लाई x ले अर्को समीकरण 6x+3y=2 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$6\left(2y-6\right)+3y=2$$

6 लाई -6+2y पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$12y-36+3y=2$$

3y मा 12y जोड्नुहोस्

$$15y-36=2$$

समीकरणको दुबैतिर 36 जोड्नुहोस्।

$$15y=38$$

दुबैतिर 15 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{38}{15}$$

x=2y-6 मा y लाई \frac{38}{15} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=2\times \frac{38}{15}-6$$

2 लाई \frac{38}{15} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{76}{15}-6$$

\frac{76}{15} मा -6 जोड्नुहोस्

$$x=-\frac{14}{15}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-\frac{14}{15},y=\frac{38}{15}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$x-2y=-6,6x+3y=2$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}1&-2\\6&3\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-2\times 6\right)}&-\frac{-2}{3-\left(-2\times 6\right)}\\-\frac{6}{3-\left(-2\times 6\right)}&\frac{1}{3-\left(-2\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{2}{15}\\-\frac{2}{5}&\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\left(-6\right)+\frac{2}{15}\times 2\\-\frac{2}{5}\left(-6\right)+\frac{1}{15}\times 2\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{14}{15}\\\frac{38}{15}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=-\frac{14}{15},y=\frac{38}{15}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$x-2y=-6,6x+3y=2$$

x र 6x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 6 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 1 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$6x+6\left(-2\right)y=6\left(-6\right),6x+3y=2$$

सरल गर्नुहोस्।

$$6x-12y=-36,6x+3y=2$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 6x-12y=-36 बाट 6x+3y=2 घटाउनुहोस्।

$$6x-6x-12y-3y=-36-2$$

-6x मा 6x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 6x र -6x राशी रद्द हुन्छन्।

$$-12y-3y=-36-2$$

-3y मा -12y जोड्नुहोस्

$$-15y=-36-2$$

-2 मा -36 जोड्नुहोस्

$$-15y=-38$$

दुबैतिर -15 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{38}{15}$$

6x+3y=2 मा y लाई \frac{38}{15} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$6x+3\times \frac{38}{15}=2$$

3 लाई \frac{38}{15} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$6x+\frac{38}{5}=2$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{38}{5} घटाउनुहोस्।

$$6x=-\frac{28}{5}$$

दुबैतिर 6 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{14}{15}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-\frac{14}{15},y=\frac{38}{15}$$