समाधान {l}{x-2=6y}{y=2x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - 2 = 6 y } \\ { y = 2 x } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=-\frac{2}{11}\approx -0.181818182$$

$$y=-\frac{4}{11}\approx -0.363636364$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 6y घटाउनुहोस्।

$$x-2-6y=0$$

दुबै छेउहरूमा 2 थप्नुहोस्। शून्यमा कुनै पनि अंक जोड्दा जोडफल सोही अंक बराबर नै हुन्छ।

$$x-6y=2$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 2x घटाउनुहोस्।

$$y-2x=0$$

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$x-6y=2,-2x+y=0$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$x-6y=2$$

समीकरणको दुबैतिर 6y जोड्नुहोस्।

$$x=6y+2$$

6y+2 लाई x ले अर्को समीकरण -2x+y=0 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-2\left(6y+2\right)+y=0$$

-2 लाई 6y+2 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-12y-4+y=0$$

y मा -12y जोड्नुहोस्

$$-11y-4=0$$

समीकरणको दुबैतिर 4 जोड्नुहोस्।

$$-11y=4$$

दुबैतिर -11 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{4}{11}$$

x=6y+2 मा y लाई -\frac{4}{11} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=6\left(-\frac{4}{11}\right)+2$$

6 लाई -\frac{4}{11} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{24}{11}+2$$

-\frac{24}{11} मा 2 जोड्नुहोस्

$$x=-\frac{2}{11}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-\frac{2}{11},y=-\frac{4}{11}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 6y घटाउनुहोस्।

$$x-2-6y=0$$

दुबै छेउहरूमा 2 थप्नुहोस्। शून्यमा कुनै पनि अंक जोड्दा जोडफल सोही अंक बराबर नै हुन्छ।

$$x-6y=2$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 2x घटाउनुहोस्।

$$y-2x=0$$

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$x-6y=2,-2x+y=0$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}1&-6\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}1&-6\\-2&1\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-6\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-6\left(-2\right)\right)}&-\frac{-6}{1-\left(-6\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{1-\left(-6\left(-2\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-6\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{11}&-\frac{6}{11}\\-\frac{2}{11}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{11}\times 2\\-\frac{2}{11}\times 2\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{11}\\-\frac{4}{11}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=-\frac{2}{11},y=-\frac{4}{11}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 6y घटाउनुहोस्।

$$x-2-6y=0$$

दुबै छेउहरूमा 2 थप्नुहोस्। शून्यमा कुनै पनि अंक जोड्दा जोडफल सोही अंक बराबर नै हुन्छ।

$$x-6y=2$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 2x घटाउनुहोस्।

$$y-2x=0$$

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$x-6y=2,-2x+y=0$$

x र -2x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -2 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 1 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$-2x-2\left(-6\right)y=-2\times 2,-2x+y=0$$

सरल गर्नुहोस्।

$$-2x+12y=-4,-2x+y=0$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर -2x+12y=-4 बाट -2x+y=0 घटाउनुहोस्।

$$-2x+2x+12y-y=-4$$

2x मा -2x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै -2x र 2x राशी रद्द हुन्छन्।

$$12y-y=-4$$

-y मा 12y जोड्नुहोस्

$$11y=-4$$

दुबैतिर 11 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{4}{11}$$

-2x+y=0 मा y लाई -\frac{4}{11} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$-2x-\frac{4}{11}=0$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{4}{11} जोड्नुहोस्।

$$-2x=\frac{4}{11}$$

दुबैतिर -2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{2}{11}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-\frac{2}{11},y=-\frac{4}{11}$$