समाधान {l}{x-y+3/2=3x+y+1}{5x+y/2=2x-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - \frac { y + 3 } { 2 } = 3 x + y + 1 } \\ { \frac { 5 x + y } { 2 } = 2 x - 1 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=1$$

$$y=-3$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। समीकरणको दुबैतिर 2 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$2x-\left(y+3\right)=6x+2y+2$$

y+3 को विपरितार्थी शब्द पत्ता लगाउन, हरेक शब्दको विपरितार्थी शब्द पत्ता लगाउनुहोस्।

$$2x-y-3=6x+2y+2$$

दुवै छेउबाट 6x घटाउनुहोस्।

$$2x-y-3-6x=2y+2$$

-4x प्राप्त गर्नको लागि 2x र -6x लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$-4x-y-3=2y+2$$

दुवै छेउबाट 2y घटाउनुहोस्।

$$-4x-y-3-2y=2$$

-3y प्राप्त गर्नको लागि -y र -2y लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$-4x-3y-3=2$$

दुबै छेउहरूमा 3 थप्नुहोस्।

$$-4x-3y=2+3$$

5 प्राप्त गर्नको लागि 2 र 3 जोड्नुहोस्।

$$-4x-3y=5$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। समीकरणको दुबैतिर 2 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$5x+y=4x-2$$

दुवै छेउबाट 4x घटाउनुहोस्।

$$5x+y-4x=-2$$

x प्राप्त गर्नको लागि 5x र -4x लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$x+y=-2$$

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-4x-3y=5,x+y=-2$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$-4x-3y=5$$

समीकरणको दुबैतिर 3y जोड्नुहोस्।

$$-4x=3y+5$$

दुबैतिर -4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{1}{4}\left(3y+5\right)$$

-\frac{1}{4} लाई 3y+5 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{3}{4}y-\frac{5}{4}$$

\frac{-3y-5}{4} लाई x ले अर्को समीकरण x+y=-2 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-\frac{3}{4}y-\frac{5}{4}+y=-2$$

y मा -\frac{3y}{4} जोड्नुहोस्

$$\frac{1}{4}y-\frac{5}{4}=-2$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{5}{4} जोड्नुहोस्।

$$\frac{1}{4}y=-\frac{3}{4}$$

दुबैतिर 4 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$y=-3$$

x=-\frac{3}{4}y-\frac{5}{4} मा y लाई -3 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{3}{4}\left(-3\right)-\frac{5}{4}$$

-\frac{3}{4} लाई -3 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{9-5}{4}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर -\frac{5}{4} लाई \frac{9}{4} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=1$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=1,y=-3$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। समीकरणको दुबैतिर 2 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$2x-\left(y+3\right)=6x+2y+2$$

y+3 को विपरितार्थी शब्द पत्ता लगाउन, हरेक शब्दको विपरितार्थी शब्द पत्ता लगाउनुहोस्।

$$2x-y-3=6x+2y+2$$

दुवै छेउबाट 6x घटाउनुहोस्।

$$2x-y-3-6x=2y+2$$

-4x प्राप्त गर्नको लागि 2x र -6x लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$-4x-y-3=2y+2$$

दुवै छेउबाट 2y घटाउनुहोस्।

$$-4x-y-3-2y=2$$

-3y प्राप्त गर्नको लागि -y र -2y लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$-4x-3y-3=2$$

दुबै छेउहरूमा 3 थप्नुहोस्।

$$-4x-3y=2+3$$

5 प्राप्त गर्नको लागि 2 र 3 जोड्नुहोस्।

$$-4x-3y=5$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। समीकरणको दुबैतिर 2 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$5x+y=4x-2$$

दुवै छेउबाट 4x घटाउनुहोस्।

$$5x+y-4x=-2$$

x प्राप्त गर्नको लागि 5x र -4x लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$x+y=-2$$

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$-4x-3y=5,x+y=-2$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-4-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{-4-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{-4-\left(-3\right)}&-\frac{4}{-4-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-3\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5-3\left(-2\right)\\5+4\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=1,y=-3$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। समीकरणको दुबैतिर 2 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$2x-\left(y+3\right)=6x+2y+2$$

y+3 को विपरितार्थी शब्द पत्ता लगाउन, हरेक शब्दको विपरितार्थी शब्द पत्ता लगाउनुहोस्।

$$2x-y-3=6x+2y+2$$

दुवै छेउबाट 6x घटाउनुहोस्।

$$2x-y-3-6x=2y+2$$

-4x प्राप्त गर्नको लागि 2x र -6x लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$-4x-y-3=2y+2$$

दुवै छेउबाट 2y घटाउनुहोस्।

$$-4x-y-3-2y=2$$

-3y प्राप्त गर्नको लागि -y र -2y लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$-4x-3y-3=2$$

दुबै छेउहरूमा 3 थप्नुहोस्।

$$-4x-3y=2+3$$

5 प्राप्त गर्नको लागि 2 र 3 जोड्नुहोस्।

$$-4x-3y=5$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। समीकरणको दुबैतिर 2 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$5x+y=4x-2$$

दुवै छेउबाट 4x घटाउनुहोस्।

$$5x+y-4x=-2$$

x प्राप्त गर्नको लागि 5x र -4x लाई संयोजन गर्नुहोस्।

$$x+y=-2$$

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$-4x-3y=5,x+y=-2$$

-4x र x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 1 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -4 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$-4x-3y=5,-4x-4y=-4\left(-2\right)$$

सरल गर्नुहोस्।

$$-4x-3y=5,-4x-4y=8$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर -4x-3y=5 बाट -4x-4y=8 घटाउनुहोस्।

$$-4x+4x-3y+4y=5-8$$

4x मा -4x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै -4x र 4x राशी रद्द हुन्छन्।

$$-3y+4y=5-8$$

4y मा -3y जोड्नुहोस्

$$y=5-8$$

-8 मा 5 जोड्नुहोस्

$$y=-3$$

x+y=-2 मा y लाई -3 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x-3=-2$$

समीकरणको दुबैतिर 3 जोड्नुहोस्।

$$x=1$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=1,y=-3$$